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初中数学中的折叠问题

折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实

质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到

的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规

方法。其实对于折叠问题，我们要明白：

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后

图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，

这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质

用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．

一、矩形中的折叠

1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直

线上，∠CBD度．

2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥

BC，若AB4，AC3，则△ADE的面积是．

3．如图，矩形纸片ABCD中，AB4，AD3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折

痕DG，求AG的长．

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4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕

BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（）

5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC8cm，AB6cm，求

折叠后重合部分的面积．

6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若

折叠角∠FEC64°，则∠1度；△EFG

的形状三角形．

7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；

延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿

GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折

痕GC′，GH（如图⑥）．

（1）求图②中∠BCB′的大小；

（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

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8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周

长之和为

9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四

边形BCFE的面积

10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D

重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．

(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？

(2)设BMy，AB’x，求y与x的函数关系式；

(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．

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二、纸片中的折叠

11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）

12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB45°，则后重合部分的面积为

13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是

14．如图a是长方形纸带，∠DEF20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，

则图c中的∠CFE的度数是（）

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15．将一张长为70cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，

AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）

16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反

面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的

长

三、三角形中的折叠

17．如图，把Rt△ABC（∠C90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠