二次函数2025.3.9解析 (1).docx

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二次函数2025.3.9解析

一、解答题

1．如图，抛物线与x轴交于点，点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点P在直线上方抛物线上运动，K是线段的动点，过点P作，轴于点F，求的最大值时，的最大值；

(3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点，点B的对应点为，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

【答案】(1)；

(2)；

(3)或．

【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解；

（2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，进而得，作关于的对称点连接，则设，则，利用勾股定理及三角形的三边关系即可得解；

（3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，

∴设抛物线的解析式为：，

把点代入可得，，

解得，，

∴抛物线解析式为：；

（2）解：∵，，

∴，即是等腰直角三角形，

∴，

设直线的解析式为：，

∵点，点．

∴，

解得，，

∴直线的解析式为：，

如图所示，设与交于点，

∵轴，

∴，且，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

设，则，，且，

∴，，

∴，

∵，

∴当时，有最大值，最大值为，

∴，

∴，

如图，作关于的对称点连接，则设

∵，，．

∴

解得，

∴，

∴

∵

∴由三角形的两边之差小于第三边可得，

∴的最大值时，的最大值为；

（3）解：存在点，点的横坐标为或，理由如下，

∵抛物线，

∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：，

令，则，令，则，得，

∴，，

∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，

∴，且，

把代入得，，

∴，

∵，

∴设直线的解析式为，

∴，

解得，，

∴直线的解析式为：，

新抛物线图像如图所示，

第一种情况，过点作，交抛物线与点，则，

∴设直线的解析式为，把点代入得，，

解得，，

∴直线的解析式为：，

联立新抛物线与直线为方程组得，，

解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或，

∴；

第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点，

∴，

设，且，，

∴，，

∴，

解得，，

∴，

设直线的解析式为，

∴，

解得，，

∴直线的解析式为，

联立抛物线与直线为方程组得，，

解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，

∴；

综上所述，存在点，使得，点的坐标为或．

【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，勾股定理，三角形的三边关系，二次函数的平移，等腰三角形的性质，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值；

(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

【答案】(1)

(2)，的最小值为

(3)或

【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与线段最值，二次函数与角度综合．

（1）先求出，，再把代入，结合对称轴为直线求解即可；

（2）先求出，直线解析式为，再设，则，得到，再说明是等腰直角三角形，得到

的周长为，代入得到当时，的周长取得最大值，此时，，连接，，证明四边形和是平行四边形，得到，则，当在上时，最小，求出的长即可；

（3）求出平移后抛物线的表达式为：，求出与直线的另一个交点，则设直线线的表达式为：，当点在点下方时，由，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出；点在点的上方时，取点，则，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出．

【详解】（1）解：令得，，则，，

∵，

∴，

∴，

把代入得，

∵抛物线对称轴为直线，

∴，

∴，解得，

∴，

∴抛物线解析式为；

（2）解：令，解