25春北师版初中数学七年级下册培优专练 专题2.2 与平行线有关的旋转问题（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.docx

专题2.2与平行线有关的旋转问题

思想方法

思想方法

方程思想：指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

知识点总结

知识点总结

一、平行线的判定

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）

二、平行线的性质

1两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.

2两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.

3两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.

典例分析

典例分析

【典例1】如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠AEP=30°．

??

（1）求∠FPE的度数；

（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒10°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．

①当∠MEP=20°时，求∠EPN的度数；

②当EM∥PN时，求t的值．

【思路点拨】

（1）延长FP与AB相交于点G，根据平行线的性质，得到∠PGE=90°，再根据外角的性质可计算得到结果；

（2）①当∠MEP=20°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP=20°，计算出ME的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知（1）的∠FPE=120°可计算出∠EPN的度数；

②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，

Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=10t°，∠FPN=30t°，再平行线的性质可得∠AEM=∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；

Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=10t°，EM∥PN，∠GHP=10t°，可计算射线PN的转动度数30t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；

Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=10t°，∠GPN=40t?6°，根据（1）中结论，∠AEP=30°，可计算出∠PEM与

【解题过程】

（1）解：延长FP与AB相交于点G，如图1，

??

∵PF⊥CD，

∴∠PFD=∠PGE=90°，

∵∠EPF=∠PGE+∠AEP，

∴∠EPF=∠PGE+∠AEP=90°+30°=120°；

（2）解：①Ⅰ如图2，

??

∵∠AEP=30°，∠MEP=20°，

∴∠AEM=10°，

∴射线ME的运动时间t=10

∴射线PN旋转的角度∠FPN=1×30°=30°，

又∵∠FPE=120°，

∴∠EPN=∠EPF?∠EPN=120°?30°=90°；

Ⅱ如图3所示，

??

∵∠AEP=30°，∠MEP=20°，

∴∠AEM=50°，

∴射线EM运动的时间t=50

∴射线PN旋转的角度：5×30°=150°

又∵∠EPF=120°，

∴∠FPN=150°?120°=30°；

∴∠EPN的度数为90°或30°；

②Ⅰ当PN从PF出发，运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，

??

根据题意可知，经过t秒，

∠AEM=10t°，∠FPN=30t°，

∵EM∥PN，

∴∠AEM=∠AHP=10t°，

又∵∠FPN=∠EGP+∠AHP，

∴30t°=90°+10t°，

解得t=4.5；

Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，运动如图5时，EM∥PN，

??

根据题意可知，∠AEM=10t°，EM∥PN，∠GHP=10t°，射线PN的转动度数为30t°，

则∠GPN=30t°?18