2024_2025年新教材高中数学第七章三角函数3.3第二课时函数y＝Asinωx＋φ图象与性质的应用习题课学案苏教版必修第一册.docVIP

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其次课时函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课)

由图象确定函数的解析式

[例1]如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解]法一：由图象知A＝3，

T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，

∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，

∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函数图象上，

∴0＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)×2＋φ)).

∴－eq\f(π,6)×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．

∵|φ|eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3).

∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).

法二：由法一得A＝3，ω＝2.

将最高点M的坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，3))代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝3.

∴eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．

∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴取φ＝eq\f(π,3).∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).

法三：由图象知A＝3.∵图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))

∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2)；

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq\f(2π,T)；

(3)求φ，常用方法有以下2种

代入法

把图象上的一个已知点代入(此时要留意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入

五点法

确定φ值时，往往以找寻“五点法”中的特别点作为突破口

[跟踪训练]

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq\f(π,4)，且图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则函数的解析式为________．

解析：由题意知A＝5，eq\f(T,2)＝eq\f(π,4)，

所以T＝eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝4，

所以y＝5sin(4x＋φ)．

又因为图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，所以eq\f(5,2)＝5sinφ，

即sinφ＝eq\f(1,2)，所以φ＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或φ＝eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，

所以这个函数的解析式为y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).

答案：y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))

三角函数图象的对称性

[例2]在函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析]由4x＋eq\f(2π,3)＝kπ(k∈Z)，

得x＝eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)(k∈Z)，

∴函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))的