高中数学 导数专项 第9讲 端点效应.pdfVIP

第9讲端点效应

一、问题综述

解决导数相关的含参恒成立问题的常规方法有(1)构造函数(2)离参数.但有时解决问题困难重

重.有些试题中定点、端点、最值凑在了一起，可关注函数取端点值的特殊性，先通过式子成立的充条

件求出参数的取值范围，再证明其必要性来解决这类问题的一个十有效方法.江湖人称“端点效应”.

“端点效应”适用范围：不等式恒成立问题.导数大题中，条件已知函数/(无)与某个常数之间恒定的

大小关系，含参恒过定点，定点刚好是区间端点，求参数的范围.

“端点效应”思想与步骤：

(1)由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；

(2)利用这个范围去判断导数是否恒正或者恒负；

(3)如果导数不变号，则由端点得到的范围是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性(若

函数先减后增，则最大值在端点处取得，若函数先增后减，则最小值在端点处取得).

二、典例分析

类型一：指数型端点效应

【例1】(2010.新课标理)设函数/(x)=—1-工「凉.

(1)若4=0,求/(元)的单调区间；

(2)若当xO时/(x)NO,求“的取值范围.

析本题第(2)问若构造函数需要用不等式e*Nl+x放缩，若离参数，构造新函数需要二次求导，也

比较繁琐.

本题常规解法如下.

解法1：(今类衬企)

x

f(x)=e-1-2ax由(1)知e21+x,当且仅当尤=0时等号成立，

故f(x)x—2ax=(1—2a)x,

从而当1—时，尸(x)N0(xN0)而/(0)=0,

当xO时，/(x)0,

x(xw0)可得1-x(xw0),

由e1+

xxxr

当。g时，f(x)e-l+2a(e--1)=e-\e-l)(e-2a),

故当xe(O,ln2a),尸(x)0*而,(0)=0,

于是当K£(0,ln2〃)时,

综上。的取值范围是18,3.

解法2：(利用端直致感)

x2

f(x)=e-1-x-ax20对于光之0恒成立,

xxn

又f\x)=e-l-2ax,f\x)=e-2a,7(x)在0［,M)单调递增,f(x)f(.Q)=l-2a

(U)=。

J［

当l—2aN0nawg时，((无)单调递增，所以尸(x)2尸(0)=0

得人)在0［,+8)单调递增，/(x)/(0)=0,满足题意.

当l—2a0nag时，令/(无。)=0,则无e(0,x。)尸(幻单调递减，

当了€(0,乙)尸(x)〈尸(0)=0,/()单调递减，

则/(%())/(0)=0，不满足题意•

综上。的取值范围是18,3.

【方法小结】注意端点满足当/(X)在了20单调递增必定满足题意，由充性求得结果，再证

明必要性.利用端点效应，缩小了参数a的范围，使得求解过程十简便.

【练习1】(2017.新课标H)已知函数/(x)=(l-

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当xAO时，/(尤)4依+1，求。的取值范围.

【练习2］已知函数/