解三角形的进一步探究.pdf

解三角形的进一步探究

在解三角形中，我们经常会碰到类似这样的问题，在求解时会遇到求出一个

三角形的内角是负值，或者也会遇到求出的三个内角和超过了180°等等不符三

角形基本性质的现象，为此对解三角形进行进一步的探究：

先研究下面的问题：

已知：在ABC中，a=22cm,b=25cm,A=133°,解三角形。

根据正弦定理,

bsinA25sin133

sinB0.8311

a22



因为0°B180°,所以B56.21°或B123.79°。

于是



C=180°-(A+B)180°-(133°+56.21°)=-9.21°,

或



C=180°-(A+B)180°-(133°+123.79°)=-76.79°。

到这里，让我们惊讶的是所计算出的角竟然是负角。

问题出在何处呢？是已知条件有问题吗？

分析已知条件，我们注意到a=22cm,b=25cm,这里ab,A=133°，是一个钝角，

根据三角形的性质，应该有AB,故而B也应该是一个钝角，而在一个三角形中

是不可能有两个钝角的，这说明满足已知条件的三角形是不存在的。

从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形

时，在某些条件下会出现无解的情况，下面我们一起深入研究一下这种情形下解

三角形的问题。

以已知a,b,A，解三角形的问题为例来讨论，在这种情形下我们可以先用正

弦定理，计算出另一边的对角的正弦值。

bsinA

sinB

a

并由此求出B,再用三角形内角和和定理计算出第三个角

C=180°-(A+B)

然后，应用正弦定理计算第三边

asinC

c

sinA

bsinA

1.如果已知的A是钝角或直角，那么必须ab才能有解，这时从sinB

a

计算B是，只能取锐角的值，因此有一个解。

bsinA

2.如果已知的A是锐角，并且ab或者a=b,这时从sinB计算B时，

a

也只能取锐角的值，因此都只有一个解。

3.如果已知的A是锐角，并且ab,我们可以分下面三种情形来讨论：

bsinA

（1）如果absinA，这时从sinB计算得sinB1，B可以取一个

a

锐角的值和一个钝角的值，因此可以有两个解。