【2025.1期末】房山高三数学答案.docxVIP

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房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二）

高三数学答案及评分参考

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

A

C

B

C

D

A

B

D

B

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）（12）

（13）（答案不唯一，只需满足）

（14）（15）①=2\*GB3②③

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）因为，且的最小值为，

所以，所以.

因为，所以.

（Ⅱ）

因为，所以.

所以当，即时，取得最大值.

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）根据题中数据，8个门店中12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的

共有2个，所以从该市众多门店中随机抽取个，该门店月份新能源汽车销售量

超过燃油汽车销售量的概率可以估计为.

（Ⅱ）的所有可能取值为：，则

所以的分布列为

0

1

2

3

所以.

（Ⅲ）.

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）连接，设，连接.

因为侧面为菱形，所以为的中点.

因为为的中点，所以为的中位线.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）选择条件=1\*GB3①：.

（i）因为侧面为菱形，所以.

又，所以.

又因为正方形，所以.

所以，即.

又因为，且平面，

所以平面.

（ii）取中点，连接，因为，所以为等边三角形.

所以.所以.

又因为平面，所以，.

如图建立空间直角坐标系，

则，，，.

因此，，.

设平面的法向量为，

则即

令，则，，因此.

设直线与平面所成角为，则

.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅱ）选择条件=2\*GB3②:.

（i）因为菱形，所以.

又，，且平面，

所以平面.

又平面，所以.

又因为正方形，所以.

又因为，且平面，

所以平面.

（ii）下同选择条件=1\*GB3①

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意可得，，

所以.

所以.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）直线过定点.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为（显然），

由得．

则，即．

设，，

则，．

由，得，．

所以．

设直线的方程为．

带入整理得，

所以直线过定点．

当直线的斜率不存在时，显然直线过点.

综上直线过定点.

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）当时，，则.

，所以.

所以曲线在点处的切线方程为即.

（Ⅱ）由得,

当时，所以，所以，

所以在上单调递增，

所以所以符合题意；

当时，令，得,

因为，所以所以，所以，

的变化情况如下表：

极小值

所以，与恒成立矛盾，所以不符合题意；

综上所述，实数的取值范围是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，

当时，存在极小值，

记，

则，

所以在上单调递增，,

取，此时，，

所以存在，使，即方程有正实根.

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）=1\*GB3①否；=2\*GB3②是.

（Ⅱ）由题意知，

所以．

所以数列与具有关系．

设的最小值为，则．

因为，所以．

若，则当时，．

则，这与“对任意的，均有”矛盾．

所以，即的最小值为1．

（Ⅲ）因为是公差为的等差数列，所以.

若存在数列满足：与具有关系，

则对于，都有．

所以．

即．

则．

即.

当时，，都有，

与，，…，中至少有100个正数矛盾.

当时，可取．

则，且，，…，均为正数,符合题意.

当时，可取．

则，且，，…，均为正数,符合题意.

当时，可取．

则，．

即，，…，中恰有100个正数.

综上所述，的取值范围是.