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房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研(二)
高三数学答案及评分参考
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
C
B
C
D
A
B
D
B
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)(12)
(13)(答案不唯一,只需满足)
(14)(15)①=2\*GB3②③
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(16)(本小题13分)
解:(Ⅰ)因为,且的最小值为,
所以,所以.
因为,所以.
(Ⅱ)
因为,所以.
所以当,即时,取得最大值.
(17)(本小题13分)
解:(Ⅰ)根据题中数据,8个门店中12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的
共有2个,所以从该市众多门店中随机抽取个,该门店月份新能源汽车销售量
超过燃油汽车销售量的概率可以估计为.
(Ⅱ)的所有可能取值为:,则
所以的分布列为
0
1
2
3
所以.
(Ⅲ).
(18)(本小题14分)
解:(Ⅰ)连接,设,连接.
因为侧面为菱形,所以为的中点.
因为为的中点,所以为的中位线.
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)选择条件=1\*GB3①:.
(i)因为侧面为菱形,所以.
又,所以.
又因为正方形,所以.
所以,即.
又因为,且平面,
所以平面.
(ii)取中点,连接,因为,所以为等边三角形.
所以.所以.
又因为平面,所以,.
如图建立空间直角坐标系,
则,,,.
因此,,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,,因此.
设直线与平面所成角为,则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅱ)选择条件=2\*GB3②:.
(i)因为菱形,所以.
又,,且平面,
所以平面.
又平面,所以.
又因为正方形,所以.
又因为,且平面,
所以平面.
(ii)下同选择条件=1\*GB3①
(19)(本小题15分)
解:(Ⅰ)由题意可得,,
所以.
所以.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)直线过定点.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为(显然),
由得.
则,即.
设,,
则,.
由,得,.
所以.
设直线的方程为.
带入整理得,
所以直线过定点.
当直线的斜率不存在时,显然直线过点.
综上直线过定点.
(20)(本小题15分)
解:(Ⅰ)当时,,则.
,所以.
所以曲线在点处的切线方程为即.
(Ⅱ)由得,
当时,所以,所以,
所以在上单调递增,
所以所以符合题意;
当时,令,得,
因为,所以所以,所以,
的变化情况如下表:
极小值
所以,与恒成立矛盾,所以不符合题意;
综上所述,实数的取值范围是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,
当时,存在极小值,
记,
则,
所以在上单调递增,,
取,此时,,
所以存在,使,即方程有正实根.
(21)(本小题15分)
解:(Ⅰ)=1\*GB3①否;=2\*GB3②是.
(Ⅱ)由题意知,
所以.
所以数列与具有关系.
设的最小值为,则.
因为,所以.
若,则当时,.
则,这与“对任意的,均有”矛盾.
所以,即的最小值为1.
(Ⅲ)因为是公差为的等差数列,所以.
若存在数列满足:与具有关系,
则对于,都有.
所以.
即.
则.
即.
当时,,都有,
与,,…,中至少有100个正数矛盾.
当时,可取.
则,且,,…,均为正数,符合题意.
当时,可取.
则,且,,…,均为正数,符合题意.
当时,可取.
则,.
即,,…,中恰有100个正数.
综上所述,的取值范围是.
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