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通州区2024—2025学年高三年级摸底考试

数学答案及评分参考2025年1月

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

D

D

B

A

A

B

C

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．12．3613．314．415．①③④

注：第（12），（14）题第一空3分，第二空2分；第（15）题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分.

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）由，得.

在中，由正弦定理得.

因为，所以，

又，所以.………7分

（Ⅱ）设边中点为，连接，则，

在中，由余弦定理得，

即，

整理得，解得，

所以的面积为.…13分

（17）（本小题14分）

(Ⅰ)证明：因为ABCD为菱形，

所以，

又平面，平面,

所以平面.…5分

(Ⅱ)选择条件①平面平面.

因为，是的中点，所以.

又平面平面且交线为，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

因为平面，平面，

所以.

因为平面，

所以平面.

所以.

所以，，.

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.

则，所以，设平面的法向量为

则，

令，则，，则.

设直线与平面所成角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.…14分

（法二：，可求得D点到平面ABE的距离为，则）

选择条件②.

因为平面，

所以，

在△中，由勾股定理可知.

在△中，由勾股定理可知.

所以.

又，

所以△△.

所以.

所以.

所以，，.

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.

以下解答同条件①.

（法二：在△中，由勾股定理可知.

因为在△中，

由勾股定理可知.

所以.）

（18）（本小题13分）

解：（Ⅰ）该站点乘客流量高峰期无人驾驶微公交载客人数达到满载9人为事件A，乘客人数是7人为事件B，乘客人数是8人为事件C.

由表中数据可知达到满载9人的车次有14辆，总数共20辆，

所以.…3分

（Ⅱ），.

X的可能取值为14,15,16,17,18.

，，

，，

.

所以随机变量X的分布列为：

X

14

15

16

17

18

P

0.01

0.04

0.18

0.28

0.49

…10分

数学期望E（X）.……11分

（Ⅲ）需要缩短连续两辆公交的时间间隔.…13分

（因为连续两辆载客情况有19种，均满载有10种，）

…

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题设可知，，所以,.

所以椭圆的标准方程为.…4分

离心率.…5分

（Ⅱ）由题意直线l的斜率存在且不为0.

设直线方程为，则点M坐标为.

由得.

由题意.

设，，则，.

因为与A关于y轴对称，则.

则直线的方程为.

令，

则点N坐标为.

假设存在定点E满足条件，

则有△△.

则有.

所以.

所以点E坐标为或.…15分

法二：设A点坐标为，则点坐标为，B点坐标为.

则有，.

直线AB方程为.

令，则.

则M点坐标为（0，）

直线方程为.

令，则.

则N点坐标为（0，）.

假设存在定点E满足条件，

则有△△.

则有.

所以.

所以点E坐标为或.

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）依题意，.

由得

，.

依题意.

由得，.…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，定义域为.

.

令，得.

令，得.

当时，，在上单调递减.

当时，，在上单调递增.

所以有.

即.

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.………10分

（Ⅲ）因为，

所以要证成立，

只需证成立.

即证.

设，即证在上成立.

即证在上成立.

由（Ⅱ）可知的单调递减区间为

所以有，

即成立.…15分

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）7,14,21,28这四个数中的“T型数”有7,21,28.…3分

;

;

.

（Ⅱ）因为为等差