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高三年级（数学）参考答案第PAGE7页（共NUMPAGES7页）

海淀区2024—2025学年第一学期期末练习

高三数学答案及评分参考

2025.01

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B （2）A （3）A （4）C（5）B

（6）B （7）A （8）C （9）B（10）B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（?11?）或 （12）（0，1），2（13）

（14）（15）②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ），

令，解得，

所以,曲线的两条对称轴之间的距离最小值为．

（Ⅱ）当时，，

因为在区间上的最大值为，

所以，

由正弦函数性质，在上单调递减，

所以，

G所以，

G

所以．

（17）（本小题14分）

解：（Ⅰ）取中点，连接，.

因为分别是，的中点.所以.

因为，所以，

所以四点确定平面.

因为，，,

所以.

因为，所以四边形是平行四边形，所以，

因为，所以.所以是的中点.

（=2\*ROMANII）选条件①：

因为，，，，

所以.

因为,所以.

选条件②：

因为,

所以,所以.

因为，，，，

所以.

因为，所以.

则有两两垂直,建系如图.

,,,,.

设平面的一个法向量为

,,,

,令,则,.

即.

平面的一个法向量为.

则.

由于平面与平面夹角为锐角，所以其余弦值为.

（18）（本小题13分）

解：（Ⅰ）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件，

依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，由古典概型，

.

（Ⅱ）根据题中数据，课程甲中等级成绩为等或等的所有学生共有6人，赋分依次为100，100，100，85，85，85.由题设，的所有可能值为170，185，200.

，，

所以的分布列如下：

170

185

200

.

（Ⅲ）.

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题设，

解得，.

所以，椭圆C的标准方程为.

（Ⅱ）设，，

则，，得直线的斜率.

由得直线的斜率.

由经过点得直线的方程.

由得，

由韦达定理

得.

所以，.

，，

由于不重合，所以，所以

所以，.

因为两条直线不重合，

所以，.

另法：设直线的方程为，

由得，

设，因为，则.

得.

又,设，.

由点在椭圆上得，即.

所以,.

.

所以，.

由于点不在直线上，

所以，.

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）当时，，则，

解得，所以函数的定义域为.

（II）.

因为在上是减函数，

所以时，且.

设，则时，，

因为与在上是增函数，

所以在上是增函数，

（此处判断的单调性的时候也可以求导，）

所以，

解得.所以的取值范围是.

（III）当时，.

设，

则，

当时，；当时，，

所以在上是增函数，在上是减函数.

①当时，，

↘

极小值

↗

，

.

②当时，

方法一：

由

可知存在.

当变化时，的变化情况如下表：

↗

极大值

↘

由得.

因为，所以，

因为

所以

所以.

方法二：令，则，

当变化时，的变化情况如下表：

↗

极大值

↘

所以时，，

即，所以.

因为，所以，

所以.

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）的所有可能值为.

（Ⅱ）①的最大值为，理由如下：

（1）当时符合题意且.

（2）假设中存在偶数，且首个偶数为（），因为为递增数列，

所以存在，使得或，

进而有.

所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾.

所以中各项均为正奇数，

又因为为递增数列，所以，

即，.

综上的最大值为1013.

②的最小值为7，理由如下：

（1）首先证明时存