第二部分 15 题型十五 几何计算与证明及探究综合题-【智乐星中考·命题研究】2024年重庆中考数学精讲本[h].docx

题型十五几何计算与证明及探究综合题

类型1与中点有关的辅助线

模型

图形

方法

倍长中线

如图，在三角形ABC中，若点D是中点，BD＝DC，延长AD至点E，使AD＝DE，则△ADB≌△EDC

中位线

如图，在三角形ABC中，若点D是中点，AD＝BD，取AC的中点E，连接DE，则DE＝CB，DE∥CB

在三角形ABC中，若点D是中点，BD＝DC，延长BA至点E，使BA＝AE，连接CE，则AD＝CE，AD∥CE

等腰三角

形的三线

合一

如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，若点D是中点，AD＝BD，连接CD，则CD⊥BC，∠ACD＝∠BCD

斜中半

若在Rt△ABC中，∠ACDB＝90°，若点D是中点，AD＝BD，连接CD，则CD＝AB

(2022·重庆外国语一诊)如图，已知△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，将△CDE绕着点C旋转．

(1)如图1，当点D在△ABC内部时，连接AD，若CD平分∠ACB，且CD＝2，CA＝5，求AD的长度；

(2)如图2，当点D在△ABC外部时，连接AE，点F为AE的中点，连接FD并延长到点G，连接EG.若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA；

(3)如图3，当点D在△ABC的中线CF上时，在线段BF上取一点Q(不与F点重合)，连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′，EF′.若CD＝2，AC＝3，当BF′取得最小值时，求△DEF′的面积．

图1图2图3

(1)延长CD交AB于点H，利用等腰直角三角形的性质得DH和AH的长，再利用勾股定理求出AD的长；

(2)延长GF到点H，使FH＝FD，首先利用“SAS”证明△EFH≌△AFD，得∠FDA＝∠H，AD＝EH，再证明△ACD≌△BCE(SAS)，得AD＝BE，从而证明△EGH是等腰三角形，即可证明结论；

(3)连接BD，首先证明点F′在以点D为圆心，1为半径的圆上运动，则当B，F′，D三点共线时，BF′最小，求出△DEB的面积，从而解决问题．

(2023·重庆一中一模)如图，在△ABC中，AC＝BC，E为AB边上一点，连接CE.

(1)如图1，若∠ACB＝90°，CE＝，AE＝4，求线段BE的长；

(2)如图2，若∠ACB＝60°，G为BC边上一点且EG⊥BC，F为EG上一点且EF＝2FG，点H为CE的中点，连接BF，AH，AF，FH.猜想AF与AH之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，当∠ACB＝90°，∠BCE＝22.5°时，将CE绕着点E沿顺时针方向旋转90°得到EG，连接CG.点P、点Q分别是线段CB，CE上的两个动点，连接EP，PQ.H为EP延长线上一点，连接BH，将△BEH沿直线BH翻折得到同一平面内的△BRH，连接ER.在P，Q运动过程中，当EP＋PQ取得最小值且∠EHR＝45°，AC＝

时，请直接写出四边形EQPR的面积．

类型2与角平分线有关的辅助线

模型

图形

方法

角平分线上一点到角两边的距离相等

OC平分∠AOB，若点D是OC上一点，过点D是作DM⊥OA，DN⊥OB，则DM＝DN

OD平分∠CAB，若点D是BC上一点，DC⊥AC，过点D是作DE⊥AB，交AB于点E，则DC＝DE

角平分线＋边上截取线段相等，构造全等三角形

OC平分∠AOB，若点D是OC上一点，在AB上截取ON＝OM，则△ODM≌△ODN

角平分线＋平行线，构造等腰三角形

OC平分∠AOB，AC∥OB，则三角形AOC是等腰三角形

角平分线＋垂直，构造等腰三角形

OC平分∠AOB，若点D是OC上一点，过点D是作MN⊥OC，交OA于点M、交OB于点N，则三角形MON是等腰三角形

如图，△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝∠B.

(1)如图1，已知∠C＝60°，∠BAD＝45°.若DC＝2＋2，求DE的长；

(2)如图2，F为BA延长线上一点，连接FC，CA恰好平分∠BCF，延长DE交CF的延长线于点G，连接AG.已知∠GAD＝2∠ADB，AD＝CD，求证：BD－AD＝AG；

(3)如图3，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，延长DE至点P，使得DP＝AD.过点B作BF⊥AC于点F，在FC上截取FG＝BF，过点G作GH∥BC交AB于点H，交BF于点M，点Q为平面内一动点，且满足∠AQM＝45°，连接PQ，当PQ最小时，直接写出△ABD的面积．

图1图2图3

(1)构造含DE边的直角三角形，利用勾股定理解答；

(2)在BC上截取MC＝GC，连接AM，证明△GAC≌△MAC(SAS