24届高三二轮复习解析几何专题4——解析几何（一）（教师版）.docx

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24届高三二轮复习解析几何专题4——解析几何（一）（教师版）

一、互极与帕斯卡模型

1．（2023上·贵州贵阳·高二统考期末）阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质?定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；

(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，

(2)存在，

【分析】(1)根据题意和离心率求出a、b，即可求解；

(2)利用代数法证明点Q在椭圆C外，则点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.

根据题意中的概念求出点Q对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点T（2,1），利用点差法求出直线的斜率，即可求解.

【详解】（1）因为椭圆过点P(4,0)，

则，得，又，

所以，所以，

所以椭圆C的方程为.

根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；

（2）由题意，设点Q的坐标为(,)，

因为点Q在直线上运动，所以，

联立，得，

，该方程无实数根，

所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，

又QM，QN都与椭圆C相切，

所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.

对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，

将代入，整理得，

又因为定点T的坐标与的取值无关，

所以，解得，

所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.

当时，T是线段MN的中点，

设，直线MN的斜率为，

则，两式相减，整理得，即，

所以当时，直线MN的方程为，即.

2．（专题7圆锥曲线之极点与极线微点1圆锥曲线之极点与极线）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（????）

A．若点在圆上，则直线与圆相切

B．若点在圆内，则直线与圆相离

C．若点在圆外，则直线与圆相离

D．若点在直线上，则直线与圆相切

【答案】ABD

【分析】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，逐一分析各选项即可求解.

【详解】解：对于选项A：∵点在圆上，∴，

∵圆心到直线的距离为，

∴直线与圆相切，故A选项正确；

对于选项B：∵点在圆内，，

∵圆心到直线的距离为，

∴直线与圆相离，故B选项正确；

对于选项C：∵点在圆外，∴，

∵圆心到直线的距离为，

∴直线与圆相交，故C选项错误；

对于选项D：∵点在直线上，∴，

∵圆心到直线的距离为，

∴直线与圆相切，故D选项正确．

故选：ABD．

3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．

(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；

(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；

(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．

【答案】(1)或；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）将代入椭圆方程计算得点的坐标，再写出极线方程即可；

（2）写出点处的极线方程，先讨论的情况，可得处的极线就是过点的切线；再讨论的情况，将椭圆方程与极线方程联立，消元得关于的一元二次方程，计算得判别式，即可证明；

（3）分别写出过点，N的切线方程，从而可得割线的方程，再写出切点弦的方程，根据割线过点，代入割线方程计算，从而可得，，三点共线.

【详解】（1）由题意知，当时，，所以或．

由定义可知椭圆在点处的极线方程为，

所以椭圆在点处的极线方程为，即

点处的极线方程为，即

（2）因为在椭圆上，所以，

由定义可知椭圆在点处的极线方程为，

当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线．

当时，极线方程为．

联立，得．

．

综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线；

（3）设点，，，

由（2）可知，过点的切线方程为