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72．最大张角：米勒问题

命题：设直线、相交于点，、是直线上两个定点，点是直线

LLOMNLP

122

上的动点．当且仅当2·时，最大．

LOPOMONMPN

1

证明设过点、的圆与直线切于点．对于直线

MNCLP

1

上的任意的一点，总在圆外．由圆外角定理：

LQC

1

MPNMQN．

【数学史上100个著名的极值问题：米勒（ChristianRoder、德）定理．1431～？】

例1（04、全国19、2011、武汉、四月15）在直角

坐标系中，给定两点M(1，4)、N(1，2)．在轴上求x

一点，使MPN最大．

P

解MN所在的直线方程：yx3，与轴交于x

C(3，0)．|CM|42，|CN|22

由米勒定理：|CP|2|CM|·

|CN|

|CP|4P(1，0)．

因为2·，所以过点、两点的圆与轴切于点．设

|CP||CM||CN|MNxP(1，0)

点是轴上任意一点，由圆外角定理：xMPN．

QMQN

所以所求的点为P(1，0)．

x2y2

例2（05、浙江）已知、是椭圆1的左右焦点，直线是椭圆的

EFL

42



准线．点∈，设＝，则的最大

PLEPF

值＝________________；

a2

解a2，bc2，22．

c

由|PQ||EQ||FQ|6，P(22，6)，

再由夹角公式求得：300．

例3足球场宽为80m，球门宽4m．运动员带球沿边线推进．应在距离底线多少米

时，能使射门角度最大？

例4炬形黑板高为米，下底边沿距离地面米．设眼睛距离地面米．当对黑abc

板的视角最大时，应坐在距离黑板正对面__________________米．