2025年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)大题05导数及应用(6大题型)(学生版+解析).docxVIP

大题05函数及导数

根据近几年的高考情况，解析几何是高考解答题必考题目，考查的内容比较多，比较广泛。本篇主要总结了高考中经常出现的定点，定值，以及面积面积范围问题。对于解析几何中的范围问题，非对称问题。新高考中新定义问题也是解析几何考查的一个重要方向。预计2025年高考中解析几何依然会以这几种形式出现。

题型一利用导数中恒成立或不等式求参数范围

1．（24-25高三上·安徽安庆·期末）已知函数，，为函数的导函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．

2（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中．

(1)讨论函数的单调性；

(2)已知，若对任意的恒成立，求的最小值．

对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围。一般采用参编分离的思想，将参数移到一边，从而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围。对于含有两个参数的，一般是将两个参数转换成一个参数处理。利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值．

(1)求a；

(2)证明：对任意的m，，都有；

(3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值．

2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）．

(1)若，求证：在上是增函数；

(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；

(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

题型二证明恒成立及不等式问题

1（2025·山东青岛·一模）已知函数，.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.

2（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若，证明：当时，．

求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

1（25-26高三上·上海·单元测试）设函数，其中，曲线过点．

2（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数，．

(1)若函数在单调增，求实数a的取值范围：

(2)当时，，求实数a的值；

(3)求证：．

题型三极值点偏移问题

1（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数，

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若时，恒成立，求的范围；

(3)若在内有两个不同零点、，求证：.

2（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若，求的取值范围；

(3)若有两个实数解，，证明：.

极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；

2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；

3.若函数存在两个零点且，令，求证：；

4.若函数中存在且满足，令，求证：.

1（2025·青海海南·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的单调性．

(2)假设存在正实数，满足．

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：．

2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．

(1)当时，讨论函数的极值点个数；

(2)若存在，，使，求证：．

题型四函数导数中隐零点问题

（24-25高三上·河北·期末）已知函数，，．

(1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若，，求函数在上的零点个数．

2（24-25高三上·江西宜春·期末）已知函数.

(1)当时，，求实数的取值范围；

(2)判断函数在的零点个数，并说明理由.

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;

第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:

（1）要么消除最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到最值式的估计.

二、函数零点的存在性定理

函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.

三、隐零点的同构

实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

四、一般思路

针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函