2025届甘肃省高三4月二模考试数学试题.docx

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2025届甘肃省高三4月二模考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是

A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i

2．已知，，则（????）

A． B． C． D．

3．对于数列，“”是“数列为等差数列”的（????）

A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；

C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.

4．已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（????）

A． B．1 C． D．

5．若为坐标原点，，当绕点逆时针旋转至时，的坐标为（????）

A． B． C． D．

6．在数列的项和之间插入个构成新数列，则（????）

A．13 B． C．14 D．

7．若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（????）

A． B． C． D．6

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22

B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点

C．若随机变量，则函数为偶函数

D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中）

10．函数，则（????）

A．函数最小正周期为

B．是函数的一条对称轴

C．函数图象有对称中心

D．若有四个解，则

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是（????）

A．在直线上取不同于的点，若，则的面积为1

B．若直线的斜率存在，则斜率范围为

C．当直线的斜率为时，的面积为

D．为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为H，K，则的最小值为

三、填空题

12．在递增等比数列中，已知，，则．

13．已知实数，满足，则的最小值为．

14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有对；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为．

四、解答题

15．中，，．

(1)角，所对的边为，，若，，求的长；

(2)若，当的面积最大时，求．

16．如图，在四棱锥中，是一个等边三角形，底面是平行四边形，且平面平面，，．

(1)证明：；

(2)求平面与平面所成角的正切值．

17．2022年，商汤科技（SenseTime）软件公司研制的第一款AI下棋机器人——象棋专业版“元萝卜SenseRobot”问世．2024年，商汤将大模型植入机器人推出行业首款家用四合一下棋机器人，为推介这款机器人，该公司与某市青少年活动中心联合举办了“挑战AI下棋机器人”的象棋对弈活动，由于活动中心机器人的数量有限，每人每天最多获得一次对弈资格，活动中心每天只抽签6次，每人在第次被抽中的概率为（取1，2，…，6）．

(1)求张明同学在第3次抽签时获得对弈资格的概率；

(2)在活动中心参与测试的有A-1型和A-2型两款机器人，活动规定：每位参赛者与机器人对弈三局，每局均可从这两款中任选一款，假设选手选择A-1型与A-2型的可能性相同，且每局比赛结果相互独立．若选择A-1型进行对弈，选手获胜概率为，获胜后可得1分，若选择A-2型进行对弈，选手获胜概率为，获胜后得2分，平局或失败均不得分，记参赛者得分为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

18．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过作直线与曲线相交于，两点．

（i），直线，与曲线的另一个交点分别为，，证明直线过定点，并求出该定点；

（ii）为点列，直线，与曲线的另一个交点分别为，，若数列的前项和为，证明．

19．对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中．

(1)若时，求证：；

(2)若时，求证：；

(3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）．

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