2024_2025新教材高中数学第五章导数及其应用3.2极大值与极小值学案苏教版选择性必修第一册.docVIP

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极大值与微小值

新课程标准解读

核心素养

1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

数学抽象

2.能利用导数求某些函数的极大值、微小值

直观想象

横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．

在群山之中，各个山峰的顶端虽然不肯定是群山之中的最高处，但却是其旁边的最高点；同样，各个谷底虽然不肯定是山谷的最低处，但却是其旁边的最低点．

[问题]视察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，假如有，应用什么数学语言来描述？

学问点一函数的极值

1．极大值：若存在δ0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．

2．微小值：若存在δ0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个微小值，函数的极大值、微小值统称为函数的极值．

函数的极大值肯定大于微小值吗？

提示：不肯定，如图中c处的微小值大于f处的极大值．

学问点二函数的极值与导数的关系

1．极大值与导数的关系

x

x1左侧

x1

x1右侧

f′(x)

f′(x)eq\a\vs4\al()0

f′(x)＝0

f′(x)eq\a\vs4\al()0

f(x)



极eq\a\vs4\al(大)值f(x1)



2．微小值与导数的关系

x

x2左侧

x2

x2右侧

f′(x)

f′(x)eq\a\vs4\al()0

f′(x)＝0

f′(x)eq\a\vs4\al()0

f(x)



极eq\a\vs4\al(小)值f(x2)



1．导数为0的点都是极值点吗？

提示：不肯定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要推断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．

2．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内肯定有极值点吗？

提示：不肯定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．

1．(多选)下列函数在x＝0处取得微小值的是()

A．y＝cosx B．y＝x2＋1

C．y＝|x| D．y＝2x

答案：BC

2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()

A．在(1，2)上函数f(x)为增函数

B．在(3，4)上函数f(x)为减函数

C．在(1，3)上函数f(x)有极大值

D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的微小值点

解析：选D依据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)0，x∈(2，4)时，f′(x)0，x∈(4，5)时，f′(x)0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是微小值点．故选D.

求函数的极值

角度一：求不含参数的函数极值问题

[例1](链接教科书第199页例4)求函数f(x)＝x2e－x的极值．

[解]函数的定义域为R，

f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′

＝2xe－x－x2·e－x

＝x(2－x)e－x.

令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.

当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：

x

(－∞，0)

0

(0，2)

2

(2，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

0

－

f(x)

单调递减

微小值0

单调

递增

极大值4e－2

单调递减

因此当x＝0时，f(x)有微小值，

并且微小值为f(0)＝0；

当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝eq\f(4,e2).

角度二：求含参数的函数极值问题

[例2]已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．

[解]由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)(x0)知，

(1)当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

(2)当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又当x∈(0，a)时，f′(x)0，

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，

∴函数f(x)在x＝a处取得微小值，且微小值为f(a)＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x＝a处取得微小值a－alna，无极大值．

eq\a\vs4\al()

求函数极值的步