2025年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)培优专题03立体几何(6大题型)(学生版+解析).docxVIP

培优专题03立体几何

题型1建系技巧强化

一、空间直角坐标系建立的模型

(1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型．

建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系．

(2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型．

情形１垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况．

第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1

第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2

第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3

图1－1

图1－2

图1－3

情形2垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．

图2－1图2－2图2－3

情形3垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．

图3－1

一、解答题

1．（2025·陕西榆林·二模）如图，已知斜三棱柱，平面平面，，，，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.

2．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆锥的底面直径和母线的长度均为2，是底面圆圆周上的一点．

(1)当时，证明：；

(2)当时，求二面角的正弦值．

3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，.

(1)若，求的值；

(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值.

4．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）如图甲，在等腰直角中，，沿底边的高与的中位线，分别将和折起到和的位置，如图乙，折叠过程保持.

(1)证明：四点共面；

(2)求直线与平面所成角的正弦的最大值.

5．（2025·山东菏泽·一模）如图，在四棱锥中，，，，，，，F为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.

6．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在三棱锥中，底面为等腰三角形，，点为的中点，平面平面，平面平面．

??

(1)求证：平面平面；

(2)若，求该三棱锥外接球的体积；

(3)在（2）的条件下，若点为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．

题型2求线面角和线面角中的探索性问题

一、求直线与平面所成角

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sinθ=?l，其中θ是斜线与平面所成的角，?是垂线段的长，

方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，

平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.

一、解答题

1．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且平面.

(1)求三棱锥的体积；

(2)分别在线段上，且平行，平面MNC与平面所成角为，与平面所成角为，求.

2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积，为建筑物所包围的