2024_2025学年高中数学第一章常用逻辑用语2.2充要条件的应用学案新人教A版选修1_1.docVIP

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充要条件的应用

充要条件：若p?q且q?p，则记作p?q，此时p是q的充分必要条件，简称

充要条件．

“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区分在哪里？

提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；而p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)

提示：p是q的充要条件意味着“p成立，则q肯定成立；p不成立，则q肯定不成立”，是相互等价的命题．

(2)设x∈R，则“x1”是“|x|1”的必要而不充分条件．(×)

提示：由|x|1，解得x1或x＜－1，故“x1”是“|x|1”的充分不必要条件．

(3)若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.(√)

提示：因为a0，b0，若a＋b≤4，

所以2eq\r(ab)≤a＋b≤4.所以ab≤4，此时充分性成立．

当a0，b0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝54，这与a＋b≤4冲突，因此必要性不成立．

综上所述，当a0，b0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．

2．“x22017”是“x22016”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若x22017，因为20172016，故x22016，

故“x22017”可以推出“x22016”，取a2＝2016.5，

则a22016，a22017不成立，

所以“x22016”可以推不出“x22017”，

所以“x22017”是“x22016”的充分不必要条件．

3．方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是________，它的一个充分不必要条件可以是________．

【解析】因为方程x2－2x＋a＝0有实根，

所以Δ≥0，即(－2)2－4a≥0，解得a≤1，

反之，当a≤1时，Δ≥0，则方程x2－2x＋a＝0有实根，

所以a≤1是方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件，

当a＝1时，方程x2－2x＋1＝0有实根x＝1，而当方程x2－2x＋a＝0有实根时不肯定是a＝1，

所以a＝1是方程x2－2x＋a＝0有实根的一个充分不必要条件．

答案：a≤1a＝1(答案不唯一)

类型一充要条件的推断(逻辑推理)

应用定义推断充要条件

【典例】1.“meq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的()

A．充分不必要条件 B．充要条件

C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【思路导引】由方程无实数解，先得出m的范围，再推断．

【解析】选B.方程x2＋x＋m＝0无实数解?Δ＝1－4m＜0?meq\f(1,4).

2．(2024·成都高二检测)设a0，b0，则“lg(ab)0”是“lg(a＋b)0”的()

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件

C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【思路导引】留意前提条件，应用充要条件的定义推断．

【解析】选A.因为lg(ab)0，所以ab1，a0，b0，明显a，b中至少有一个大于1，假如都小于等于1，依据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符．故由lg(ab)0?lg(a＋b)0，由lg(a＋b)0，可得a＋b1，a，b与1的关系不确定，故由lg(a＋b)0推不出lg(ab)0，当然可以举特例：如a＝b＝eq\f(2,3)，符合a＋b1，但是不符合ab1，

因此“lg(ab)0”是“lg(a＋b)0”的充分不必要条件．

本例1中“meq\f(1,4)”若换为“m＜eq\f(1,4)”，其他条件不变，结论又如何呢？

【解析】选D.方程x2＋x＋m＝0无实数解?Δ＝1－4m＜0?meq\f(1,4)，所以方程x2＋x＋m＝0无实数解不能推出m＜eq\f(1,4)，而m＜eq\f(1,4)也不能推出方程x2＋x＋m＝0无实数解，所以“m＜eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的既不充分也不必要条件．

借助集合间的关系推断充要条件

【典例】已知集合A＝{x|lgx≥0}，B＝{x|2x≤4}，C＝{x|(x－4)·(x＋2)≤0}，则“x∈(A∩B)”是“x∈C”的()

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件

C.充要条件 D．既不充分也不必要条件

【思路导引】求出集合，推断集合A∩B与C的关系．

【解析】选A.因为A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≤2}，故A∩B＝eq\b\lc\{\