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第十五章正交曲面坐标系数学物理方法——

定解问题分离变量法直角坐标系：一维线性矩形长方体圆柱球形——正交曲面坐标系

15.1正交曲面坐标系01添加标题直角坐标系下任意一点(x,y,z)02添加标题球坐标03添加标题柱坐标

定义1曲面坐标系{q1,q2,q3}与直角坐标系的关系为2雅可比行列式不为零3其坐标面为三组曲面：q1=常数，q2=常数，q3=常数。4正交曲面坐标系5由通过该点的三个坐标面决定，6q1，q2，q3相互独立7若q1，q2，q3总是互相垂直，它就是正交曲面坐标系。8

点a0与其邻点的弧长：STEP5STEP4STEP3STEP2STEP1其中，是坐标轴的度规因子，若gij=giidij，则(q1,q2,q3)为正交曲面坐标系。令其中判定即或

可知，柱坐标系是正交曲面坐标系。例题判断柱坐标系为正交曲面坐标系。解

可知，球坐标系是正交曲面坐标系。例题判断球坐标系为正交曲面坐标系。解

正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符：01直角坐标系：02柱坐标系：03球坐标系：04极坐标系：

15.2圆形区域可采用分离变量法圆形区域中的稳定问题补充周期性条件：直角坐标下无法分离变量采用平面极坐标系补充原点处的有界条件：有界

令，分离变量定解问题为：两边同乘以得

01020304050607若l=0可知：周期性条件由周期性条件知：本征函数本征函数若l≠0可知：由周期性条件知：

因此，当时，本征函数为单击此处添加小标题对方程（1）作变换：令，则单击此处添加小标题本征值l0=0，本征函数：单击此处添加小标题方程（1）化为：单击此处添加小标题定解问题的全部特解为：单击此处添加小标题一般解：单击此处添加小标题本征值lm=m2，本征函数：

将一般解代入周期性条件：再代入边界条件：∵在r=0处，有界，

∴lnr和项的系数为零，即可知：利用本征函数的正交性及

添加标题三维空间的稳恒振动问题：添加标题3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量添加标题这样方程就化为了：添加标题亥姆霍兹方程添加标题通常要求解的形式为：T(t)为随时间衰减的因子

柱坐标系下，亥姆霍兹方程的具体形式为：代入方程逐次分离变量，令两边同除以wZ得：

再次分离变量，令得17章柱函数两边同乘以得代入方程

两边同乘以得逐次分离变量，令代入方程球坐标系下，亥姆霍兹方程的具体形式为：4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量

添加标题再次分离变量，令01添加标题代入方程（2）02添加标题得03添加标题即04添加标题两边同乘以得05

16章球函数连带勒让德方程

当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时，即u=u(r,q)而与f无关时，亥姆霍兹方程变为：两边同乘以得即分离变量，令代入方程16章球函数勒让德方程