（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）（解析版）.docxVIP

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专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.离散型随机变量的均值

知识点2.离散型随机变量的方差

拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质

突破：均值与方差在决策中的应用

【方法二】实例探索法

题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望）

题型2.离散型随机变量均值的性质

题型3.离散型随机变量均值的应用

题型4离散型随机变量的方差

题型5.离散型随机变量方差的性质

题型6.离散型随机变量的方差的应用

【方法三】差异对比法

易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误

易错点2.错用公式致误

【方法四】成果评定法

【知识导图】

【倍速学习五种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.离散型随机变量的均值

一离散型随机变量的均值

1．离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．

2．离散型随机变量的均值的意义

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

3．离散型随机变量的均值的性质

若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为

Y

ax1＋b

ax2＋b

…

axi＋b

…

axn＋b

P

p1

p2

…

pi

…

pn

于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？

答案(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．

(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．

二、两点分布的均值

如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.

例1．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.3

0.4

0.1

0.1

则；.

【答案】2.810.4

【分析】由期望的计算公式及即可得.

【详解】,

.

故答案为：2.8；10.4.

知识点2.离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差、标准差

设离散型随机变量X的分布列如表所示．

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差(standarddeviation)，记为σ(X)．

二、离散型随机变量方差的性质

1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．

2．D(c)＝0(其中c为常数)．

例2.（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.

【详解】由题意可知，X的取值可能为，，，

因为，

，

，

所以，

故．

故选：B.

拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质

3．（2024·全国·高三专题练习）已知X的分布列为

X

0

1

P

则下列结论正确的是（????）．

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】求出、的值，可判断A、B选项的正误，利用均值和方差的性质可判断B、D选项的正误.

【详解】对A：由，知A正确；

对B：由，知B错误；

对C、D：因为的分布列为

所以，故C正确；

，故D错误．

故选