2024_2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课后巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docxVIP

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其次章圆锥曲线与方程

2.4抛物线

2.4.2抛物线的简洁几何性质

课后篇巩固提升

基础巩固

1.抛物线y2=2px(p0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()

A.2 B.3 C.4 D.4或-4

解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义有4+=5,p=2,此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=±4,故选D.

答案D

2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()

A. B.

C. D.

解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F,所以点P的横坐标为,代入抛物线方程得y=±,故点P的坐标为.

答案B

3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()

A.- B.-1 C.- D.-

解析因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF==-.

答案C

4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则的值为()

A.2 B.1 C. D.4

解析因为直线交抛物线于不同的两点A,B,所以直线的斜率存在,

设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+,

由可得y2-y+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=k2+,

因为抛物线的准线方程为y=-,

所以依据抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,所以=4,故选D.

答案D

5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限,以F为圆心,FA为半径的圆交抛物线C的准线于M,N两点,且A,F,M三点共线,则|AF|=()

A.2 B.4 C.6 D.8

解析如图所示,

∵A,F,M三点共线,

∴AM是圆的直径,

∴AN⊥MN,AN∥x轴,又F为AM的中点,且点F到准线的距离为2,∴|AN|=4,

由抛物线的定义可得|AF|=|AN|=4,故选B.

答案B

6.已知点P在抛物线y2=4x上,当点P到点Q(2,-2)的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为()

A.,-1 B.,1

C.(1,2) D.(1,-2)

解析由题意,依据抛物线的方程y2=4x,求得p=2,则焦点坐标为F(1,0),

过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|,

依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小,如图所示,

所以此时点P的纵坐标为-2,代入抛物线的方程求得x=1,

即点P的坐标为(1,-2),故选D.

答案D

7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,反射光线的反向延长线与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).?

解析由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.

答案x=-2

8.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,且始终角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.

解如图所示,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,则OB边的方程为y=-x.

由得点A的坐标为.

由得点B的坐标为(8p,-4p).

因为|AB|=5,所以=5,解得p=,故所求抛物线方程为y2=x.

9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l的斜率为1,直线l与抛物线交于A,B两点,与x轴交于点P.

(1)若|AF|+|BF|=8,求直线l的方程;

(2)若=2,求|AB|.

解(1)由题意,直线l的斜率为1,设直线l的方程为y=x+m,设A(xA,yA),B(xB,yB),联立方程组整理得x2+(2m-4)x+m2=0,则xA+xB=4-2m,又由|AF|+|BF|=8,可得xA+1+xB+1=8,所以xA+xB=6,即4-2m=6,解得m=-1,所以直线l的方程为y=x-1.

(2)依据题意,设P(xP,0),由消去x得y2-4(y-m)=0,得y2-4y+4m=0,

则yA+yB=4,①

yAyB=4m,②

又由=2,可得(xP-xA,0-yA)=2(xB-xP,yB-0),

可得-yA=2yB,代入①式,可得yA=8,yB=-4,

再代入②式得m=-8,即xA+xB=20,xAxB=64,

所以|AB|==12.

实力提升

1.抛物线x2=2py(p0)与椭圆=1交于A,B两点,若△AOB的面积为(其中O为坐标原点),则p=