探究与发现 函数y=x+(1x)的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

探究与发现函数y=x+(1x)的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

主备人

备课成员

设计意图

本教学设计旨在通过探究函数y=x+(1/x)的图象与性质，培养学生运用数学知识和方法分析问题的能力。结合人教A版必修第一册数学教材，通过实例教学，让学生理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质，同时提高学生数学思维的逻辑性和严谨性。

核心素养目标

1.发展逻辑推理能力，通过探究函数性质，理解数学证明的过程。

2.培养直观想象能力，通过图象分析，提升对函数图象的认识。

3.提升数学建模意识，将实际问题转化为数学问题，运用函数模型解决。

4.增强数学抽象能力，从具体实例中提炼出一般规律，提高数学表达能力。

重点难点及解决办法

重点：函数y=x+(1/x)的图象绘制与性质分析。

难点：函数单调性和奇偶性的证明。

解决办法：

1.重点：通过实例演示和引导学生自主绘制函数图象，帮助学生直观理解函数的形态。

2.难点：采用数形结合的方法，结合导数概念，引导学生理解函数单调性的证明过程。对于奇偶性的证明，通过定义和性质对比，引导学生发现并证明函数的奇偶性。

学具准备

多媒体

课型

新授课

教法学法

讲授法

课时

第一课时

步骤

师生互动设计

二次备课

教学方法与手段

教学方法：

1.讲授法：系统讲解函数的定义、图象绘制方法及性质，引导学生逐步理解。

2.讨论法：分组讨论函数的奇偶性和单调性问题，鼓励学生提出观点，培养合作学习。

3.实验法：利用数学软件绘制函数图象，验证性质，提高学生的动手能力和应用能力。

教学手段：

1.多媒体演示：使用PPT展示函数图象和关键步骤，增强视觉效果。

2.数学软件应用：借助几何画板或Mathematica等软件，进行动态演示和验证。

3.网络资源：引入在线互动平台，拓展学生视野，提高学习效率。

教学过程

一、导入新课

同学们，大家好！今天我们要一起探究一个有趣的函数——y=x+(1/x)。这个函数在我们生活中很常见，比如计算两个数的倒数之和，或者解决某些物理问题。我们先来回顾一下，你们对函数的了解有多少呢？谁来说说函数的基本概念？

（学生回答）

很好，函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个变量之间的关系。今天我们要研究的函数y=x+(1/x)具有怎样的性质呢？接下来，我们将一起通过观察、分析、探究来揭示这个函数的秘密。

二、新课讲授

1.函数的定义域

同学们，我们先来研究一下这个函数的定义域。请思考一下，在什么情况下，x和1/x都是实数？

（学生思考并回答）

对，当x不等于0时，x和1/x都是实数。因此，这个函数的定义域为{x|x≠0}。

2.函数的图象

（学生绘制）

很好，同学们已经画出了这个函数的图象。从图象上可以看出，当x接近0时，函数值会无限增大或无限减小。这是因为分母1/x接近0，导致函数值变得非常大或非常小。此外，当x取正值或负值时，函数的增减情况如何？

（学生回答）

当x增大时，函数值也会增大；当x减小时，函数值也会减小。这说明函数在定义域内是单调递增的。

3.函数的单调性

为了更严谨地证明函数的单调性，我们可以利用导数来分析。请同学们回忆一下导数的概念。

（学生回忆并回答）

导数是函数在某一点的切线斜率，用来描述函数在该点的增减情况。现在我们来求一下这个函数的导数。

（教师演示求导过程）

（学生分析并回答）

当x0时，导数f(x)大于0，说明函数在(0,+∞)上单调递增；当x0时，导数f(x)小于0，说明函数在(-∞,0)上单调递减。

4.函数的奇偶性

现在我们来研究一下这个函数的奇偶性。根据奇偶性的定义，如果对于函数的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。请同学们来判断一下这个函数的奇偶性。

（学生判断并回答）

（学生尝试替换）

5.函数的性质总结

（1）定义域为{x|x≠0}；

（2）在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减；

（3）既不是奇函数，也不是偶函数。

三、课堂练习

为了巩固今天所学的内容，请同学们完成以下练习：

1.求函数y=x+(1/x)在x=2时的函数值；

2.分析函数y=x/(x^2-1)的单调性和奇偶性。

（学生独立完成练习）

四、课堂小结

今天我们学习了函数y=x+(1/x)的图象与性质。通过观察、分析、探究，我们得出了这个函数的定义域、单调性和奇偶性。希望大家在今后的学习中，能够运用所学的数学知识解决实际问题。

五、布置作业

1.复习今天所学的知识点，并完成课后习题；

2.思考以下问题：如何利用函数的性质解决实际问题？

（学生认真思