包学案综合与实践大利润.pdfVIP

21.6综合与实践—获取最大利润

教学目标

【知识与技能】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知

识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.

【过程与方法】

应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.

【、态度与价值观】

在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中

树立学好数学的自信心.

重点难点

【重点】

二次函数在最优化问题中的应用.

【难点】

从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.

教学过程

一、问题引入

在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润

最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中

一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决

这样的问题呢?

本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.

少

时,小球最高?小球中的最大高度是多少?

我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数2

h=30t-5t(0≤t≤6)的图

象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶

点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大

值.

因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球的时间是3s时,小

球最高,小球中的最大高度是45m.

2

一般地,当a0(或a0)时,抛物线y=ax+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就

2

是说,当x=-时,二次函数y=ax+bx+c有最小(或大)值.

二、新课教授

问题1.用总长为60m的围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的

变化而变化.当l是多少时,场地面积S最大?

师生活动:

学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.

巡视、指导,最后给出解答过程.

解:矩形场地的周长是60m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积

2

S=l(30-l),即S=-l+30l(0l30).

2

因此,当l=-=-=15(m)时,S有最大值225(m).

即当l是15m时,场地面积S最大,最大值是225m2.

问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场反

映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖

出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

师生活动:

分析存在的问题,书写解答过程.

分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.

设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随

x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销

售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为

y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)

2

即y=-10x+100x+600

2

=-10(x-1