2021年新教材高中数学第七章复数731复数的三角表示式学案新人教A版必修第二册55.pdf

晨鸟教育

7．3复数的三角表示*

7．3.1复数的三角表示式

[目标]1.知道复数的模和辐角的定义；2.会求复数的模和辐角主值；3.能求出复数的三角

形式．

[重点]复数的代数形式向三角形式的转换．

[难点]复数的代数形式与三角形式的互换．

要点整合夯基础

知识点一复数的三角形式

[填一填]

1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复

→

数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z

＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．非零复数z辐θ的多值性

→

以x轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此

复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)(k∈Z)．

3．辐角主值

(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．

(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．

[答一答]

1．当z＝0时，其辐角如何？

提示：z＝0时，其辐角是任意的．

Earlybird

晨鸟教育

2．如何确定复数三角形式中辐角、辐角主值？

提示：可以运用三角函数值求解．

知识点二复数的代数形式与三角形式的互化

[填一填]

a＝r·cosθ，

复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为b＝r·sinθ，



r＝a＋b.22

[答一答]

3．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意什么？

提示：将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意：

22

(1)r＝a＋b.

abb

(2)cosθ＝，sinθ＝，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tanθ＝(a≠0)，

rra

π

θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b0时，argz＝2.

典例讲练破题型

类型一代数形式与三角形式的转换

[例1]下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z＝cosθ－isinθ.

12

[分析]由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向．变形时，可按照如下

步骤进行：首先确定复数z对应点所在