辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2025届高三下学期4月一模联考数学试卷.docx

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辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2025届高三下学期4月一模联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则下列判断错误的是（????）

A． B． C． D．

2．若向量，，，则（????）

A． B． C． D．

3．下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（????）

A． B． C． D．

4．已知为虚数单位，，则（????）

A． B． C． D．

5．如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则（????）

A．的离心率等于的离心率

B．的离心率小于的离心率

C．的离心率大于的离心率

D．与的离心率无法比较大小

6．在正方体中，从直线以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为（????）

A． B． C． D．

7．如图，在四边形中，，则的最小值为（????）

A．2 B． C． D．

8．函数（）的最小值（????）

A．4 B． C．5 D．

二、多选题

9．若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（????）

A． B．

C． D．

10．函数的部分图象可能为（????）

A． B．

C． D．

11．已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（????）

A．

B．

C．

D．当时，可能为偶函数

三、填空题

12．若抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为．

13．已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表：

去云南旅游

去河南旅游

合计

东小组

60

40

100

西小组

70

30

100

合计

130

70

200

由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为（用百分数表示），（填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关.

参考公式：.

0.05

0.01

0.001

3.841

6.635

10.828

14．已知顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，是母线的中点，点.若与圆锥底面所成的角为，圆锥外接球的表面积为，且圆锥底面圆心到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的正弦值为.

四、解答题

15．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，证明：.

16．甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为.

(1)当时，求甲第二局获胜的概率.

(2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为.

①求；

②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望.

17．如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点.

(1)若，证明：平面.

(2)求的最小值.

(3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值.

18．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为.

(1)求的离心率.

(2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且.

①求的方程；

②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点.

19．已知正数的整数部分记为，例如.

(1)若，求数列的前项和.

(2)设.

①求；

②求数列的通项公式；

③求数列的前100项和.

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《辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2025届高三下学期4月一模联考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

D

D

B

D

C

B

BCD

ABC

题号

11

答案

BCD

1．A

【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断.

【详解】依题意可得，所以.

故选：A.

2．B

【分析】因为，所以，因为，所以.

【详解】因为，所以，

因为，所以.

故选：B.

3．D

【分析】根据二项展开式的通项公式求常数项即可.

【详解】设二项展开式的第为常数项.

对A：由，由，所以展开式的第6项