湖南省长沙市部分学校联考2024-2025学年高三下学期入学检测数学试题.docx

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湖南省长沙市部分学校联考2024-2025学年高三下学期入学检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知，复数.若与复数相等，则的值为（???）

A． B．4 C． D．14

3．已知10名学生的身高（单位：厘米）分别为：150，152，155，158，160，162，165，168，170，172，则第70百分位数为（???）

A．166.5 B．165 C．168 D．170

4．已知为第三象限角，且，则（????）

A． B． C． D．

5．由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（）

A．150 B．240 C．180 D．236

6．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（???）

A． B．0 C．12 D．

7．已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

8．定义：设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为“和公比”.已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（???）

A． B． C． D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（???）

A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象

B．若，则当时，的值域为

C．若在区间上恰有5个零点，则

D．若在区间上单调递增，则

11．已知抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为4，若直线经过点交抛物线于，两点，分别过点，作抛物线的切线交于点，则（???）

A．抛物线的准线方程为

B．若，则的中点到轴的距离为5

C．是直角三角形

D．的面积的最小值为64

三、填空题

12．在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于.

13．如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为.

14．如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是．

四、解答题

15．在中，.

(1)求角；

(2)若.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）若，求的面积.

16．新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克.

(1)求的值；

(2)求；

(3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望.

17．已知函数.

(1)若，求函数过点的切线方程;

(2)证明:当时，.

18．平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.

（i）求的值；

（ⅱ）求面积的最大值.

19．如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，.

(1)若，求的值；

(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值.

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《湖南省长沙市部分学校联考2024-2025学年高三下学期入学检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

A

D

A

D

B

D

BD

BC

题号

11

答案

BCD

1．B

【分析】利用交集的概念求解即可.

【详解】由题意可知，，