北师大版八年级数学下分式及其运算.docVIP

分式及其运算

一、知识要点

1.分式

（1）概念：一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有，那么称为分式，其中A称为分式的，B称为分式的，对于任意一个分式，分母.

注：判断一个代数式是否为分式，不能把原式变形后在判断，必须根据原来的形式判断。

（2）分式有无意义及值为零的条件：

①分式有意义的条件：；

②分式无意义的条件：；

③分式的值为零：分式的值为零必须在分式有意义的前提下讨论，分式的值为零，必须同时满足两个条件：[1].；[2].，两者缺一不可

（3）分式与整式的区别

①分母中含有字母是；

?②分母中不含有字母是；

③所有分数属于而不是。

2.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘（或除以），分式的值不变，这一性质可以用式子表示为（）。

注：

3、分式的约分

把一个分式的约去，这种变形称为分式的约分，当分式的分子和分母没有时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。

4、分式的运算

（1）乘法法则：

（2）乘方法则：（n为正整数）

（3）除法法则：

（4）加法法则：

1）同分母分式的加减运算

通分

（1）定义：根据，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.注：一般取最简公分母

（2）方法：

①将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应因式分解；

②确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高幂的积；

③将分子，分母同时乘一个因式，使分母变为最简公分母.

通分时确定最简公分母的方法

通分的关键是确定最简公分母，确定最简公分母的方法:

①把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

②把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；

③把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.

2）异分母分式的加减运算

（5）分式的加减乘除混合运算

分式的混合运算的关键是弄清运算顺序：先运算，再运算，如果遇到有括号的，就先算括号内的，再算括号外的，去括号的顺序是先去小括号，再去大括号.若是同级运算，则按的顺序进行计算.

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二、典型例题与拓展训练

题型一：分式的混合运算

【例1】计算：（乘除）

（1）；

（2）；

（3）.

【例2】计算（加减）：

【例3】计算：

题型二：分式的化简求值

【例4】（1）已知，求的值.

（2）先化简，然后从的范围内选取一个使已知代数式有意义的整数作为x的值代入求值.

题型三：分式运算的应用

【例5】小红和小丽一个月里两次同时到一家粮油商店去买油，两次的油价有变化，其中第一次油价为a元/千克，第二次的油价为b元/千克，但她们两人的购买方式不一样.小红每次买相同质量的油，小丽则每次只拿出相同数量的钱去买油.问两种买油方式，哪一种较合算？

思路导引：哪一种方式合算，要看小红、小丽平均每千克油花了多少钱，因此先计算两人平均每千克油的费用再比较大小.

【例6】已知的值是正整数，求x的值。

拓展训练：

1.（2014贵州毕节地区）若分式的值为0，则x的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.（2014四川遂宁）在函数中，自变量x的取值范围是（）

A.x＞1B.x＜1C.x≠1D.x=1

3.（2013广西南宁）若分式的值为0，则x的值为（）

A.-1B.0C.2D.-1或2

4.（2012浙江义乌中考改编）下列计算错误的是（）

A.B.C.D.

5.（2012山东泰安肥城模拟）把分式中的a、b都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的C.缩小到原来的D.不变

6.（2013广东湛江）计算的结果是（）

A.0B.1C.-1D.x

7.使得能被整除的最大正整数是.

8.（201