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华东理工大学

复变函数与积分变换作业（第2册）

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第三次作业

教学内容：柯西—黎曼方程

1．填空：

(1)函数的导数0

(2)函数的导数

（3）函数的奇点为

2．下列函数何处可导？何处解析？

（1）；（2）；（3）

解：（1），则，

，令得，

即：在直线上可导，复平面内处处不解析。

（2），则，

，令得，

即：在直线上可导，在复平面内处处不解析。

（3），，则，

，令，得，

，即：函数仅在直线、实轴和虚轴上满足C-R方程，该函数在这四条直线上可导，在复平面内处处不解析。

3．验证函数在复平面上解析，并求其导数。

解：，

，

即：，，所以函数在复平面上解析。

4．设函数是复平面内解析函数，求的值。

解：，

由，得，

5.设函数在区域内解析，证明：如果满足下列条件之一，那么它在内为常数.

（1）解析；(2);(3)在内是一个常数.

证明：关键证明的一阶偏导数皆为0。

（1），因其解析，故由柯西-黎曼方程得

而由的解析性，又有

由（1）、（2）知，，因此，即

为常数

(2)同前面一样，两端分别对求偏导数，得，

考虑到柯西-黎曼方程，仍有，证毕。

（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得

，

，--------------------------（1）

因解析，所以又有----------------------（2）

说明皆与无关，因而为常数，从而也为常数。

6.证明：

证明：由柯西-黎曼方程知，左端

=

==右端，证毕。

7.试证下列函数在平面上任何点都不解析：

（1）

由于，可见条件在平面上处处不成立，故

在平面上任何点都不解析。

（2）

可见条件在平面上处处不成立，故

在平面上任何点都不解析。

（3）

可见条件在平面上处处不成立，故

在平面上任何点都不解析。

（4）

可见条件在处处不成立，在处无定义，故在平面上任何点都不解析。

第四次作业

教学内容：2.2初等函数及其解析性2.3解析函数与调和函数的关系

1.填空题

（1）__________

（2）__________；

（3）__________；

（4）__________；

(5)_____________.

解：（1）

（2），

(3)

（2）

（4）

（5），

2求下列各式的值

（1）；（2）；（3）；（4）

解：（1）

（2）

（3）

（4），

3．设求

解：因此

4.解下列方程：

（1）；（2）；（3）；（4）

解：（1），

（2）

（3），，

（4）由于故

5.证明下列各式：

(1)

证明：。

(2);

证明：。

6．由下列各已知调和函数求解析函数f(z)=u+iv：

（1）u=(x?y)(+4xy+)；

解：则

故

（2）；

故

（3）。故

由得，故

7.设，求的值使为调和函数，并求出解析函数。

解：

由拉普拉斯方程知

当时，

当时，

8．已知，试确定解析函数

解：首先，等式两边分别对求偏导数，得

联立C-R方程解得

；

对积分，得，带入中，

得

故

9.设函数解析，且，求。

解：

以上两式相加

以上两式相减

故