2024_2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教A版选修1_1.docVIP

PAGE

PAGE7

抛物线及其标准方程

基础全面练(20分钟35分)

1．下列抛物线中，其方程形式为y2＝2px(p0)的是()

【解析】选A.依据方程形式为y2＝2px(p0)，可得其图象关于x轴对称，且x≥0，

故可得该抛物线对称轴为x轴，开口朝右．

【补偿训练】

抛物线y＝eq\f(1,4)x2的准线方程是()

A．y＝－1 B．y＝－2

C．x＝－1 D．x＝－2

【解析】选A.因为y＝eq\f(1,4)x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.

2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为()

A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4)D．4

【解析】选C.依据题意，抛物线的方程为y＝2x2，

其标准方程为x2＝eq\f(1,2)y，其中p＝eq\f(1,4)，

则抛物线的焦点到准线的距离p＝eq\f(1,4).

3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为()

A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．4

【解题指南】由|PF|＝4eq\r(2)及抛物线的定义求出点P的坐标，进而求出面积．

【解析】选C.抛物线C的准线方程为x＝－eq\r(2)，

焦点F(eq\r(2)，0)，由|PF|＝4eq\r(2)及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3eq\r(2)，从而yP＝±2eq\r(6)，

所以S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).

4．已知抛物线的方程为x＝eq\f(1,36)y2，则该抛物线的准线方程是________．

【解析】x＝eq\f(1,36)y2，焦点在x轴上，且eq\f(p,2)＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.

答案：x＝－9

5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，假如直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝________．

【解析】如图，∠AFE＝60°，

因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，

则eq\f(|AE|,|EF|)＝tan60°，即|AE|＝4eq\r(3)，

所以点P的坐标为(6，4eq\r(3))，

故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.

答案：8

6．分别求满意下列条件的抛物线的标准方程．

(1)准线方程为2y＋4＝0；

(2)过点(3，－4)；

(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，

故抛物线焦点在y轴的正半轴上，

设其方程为x2＝2py(p0)，

又eq\f(p,2)＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.

(2)因为点(3，－4)在第四象限，

所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).

把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，

得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，

即2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).

所以所求抛物线的标准方程为

y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.

(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.

所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).

所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

综合突破练(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2024·柳州高二检测)已知点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，a))为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))等于()

A．3B．2eq\r(2)C．2D．eq\r(2)

【解析】选A.由抛物线方程知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，

所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＝2＋1＝3.

2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()

A．y2＝－16x

B．y2＝－32x

C．y2＝16x

D．y2＝16x或y＝0(x＜0)

【解析】选C.因为