向量法解决立体几何问题方法总结.docVIP

向量法解决立体几何问题

知识梳理

平行问题

（1），其中为直线的方向向量

（2），其中为直线的方向向量，为面的法向量

，其中为直线的方向向量，为面内的两不共线向量

（3），其中分别为面，的法向量

2、垂直问题

（1），其中为直线的方向向量

（2），其中为直线的方向向量，为面的法向量

，其中为直线的方向向量，为面内的两不共线向量

（3），其中分别为面，的法向量

3、角度问题

（1）线线角：，其中为两直线的方向向量

（2）线面角：，其中为直线方向向量，为面的法向量

（3）二面角：，其符号由图像而定

4、距离问题

（1）点点距：

（2）点线距：利用向量共线转化为点点距处理

（3）点面距：，其中P为面外某点，A为面内任何一点，为面的法向量，所求为面外某点P到面的距离

另外，平行线的距离转化为点线距，异面直线的距离转化为点面距，线面距和面面距都可化为点面距来处理

5、向量的坐标运算

（1）（2）

（3）

二、习题精练

1、在正方ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BC与A1D1

（1）直线AE与DF成角余弦值

（2）直线BD1与平面A1ADD1成角正弦值

（3）二面角B1-AE-B余弦值

2、在正方ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BC与A1D1

（1）A到CD1的距离

（2）CF与AE的距离

（3）B到面B1AC

（4）AA1与面BDD1B1的距离

3、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD,底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E,E1，F分别是棱AD,AA1

证明：(1)直线EE1//平面FCC1;

(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。

4、（09四川19）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；

（Ⅲ）求二面角F-BD-A的余弦值.

5、（10四川18）已知正方体中，点M是棱的中点，点是对角线的中点，

（Ⅰ）求证：OM为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

6、（12四川19）如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。

（Ⅰ）求直线与平面成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

参考答案

1、（1）（2）（3）

2、(1)(2)(3)(4)

3、(2)

4、（3）

5、（2）

6、（1）（2）