2024_2025学年新教材高中数学第六章统计学初步2.2分层抽样学案湘教版必修第一册.docVIP

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分层抽样

新课程标准解读

核心素养

1.理解分层抽样的概念

数学抽象

2.驾驭分层抽样的步骤，会利用分层抽样从总体中抽取样本

数学运算

3.能解决分层抽样中的计算问题

数学运算

4.能综合运用简洁随机抽样与分层抽样解决相关问题

数学抽象

某电视台在互联网上就观众对某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的总人数为12000人，其中持各种看法的人数分别为：很宠爱4800人，宠爱3600人，一般1800人，不宠爱1800人．电视台为进一步了解观众的具体想法和看法，准备从这12000人中抽取60人进行更为具体的调查．

[问题]你认为应实行什么样的抽样方法呢？

学问点分层抽样

1．定义：把总体中各个个体根据某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简洁随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样．

2．抽样方法的对比

抽样类别

特点

适用范围

共同点

简洁随机

抽样

从总体中随机抽取

总体中的个体差异不易分层

抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相同

分层抽样

将总体分层，按各层个体数之比抽取，各层抽样时采纳简洁随机抽样

总体由差异明显的几个互不交叉的部分组成

eq\a\vs4\al()

关于分层抽样应留意的问题

(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体状况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间样本的差异要大，且互不重叠；

(2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到；

(3)各层抽样可以按简洁随机抽样进行．

如何理解“对各层按其在总体中所占比例独立进行简洁随机抽样”？

提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)＝eq\f(n,N).

1．某地区的高一新生中，来自东部地区的学生有2400人，中部地区的学生有1600人，西部地区的学生有1000人．支配从中选取100人调查学生的视力状况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力状况有较大差异，而这三个地区男女生视力状况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()

A．抽签法 B．按性别分层抽样

C．随机数法 D．按地区分层抽样

解析：选D由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力状况有较大差异，故按地区分层抽样．故选D.

2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，拟采纳分层抽样的方法从他们中抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是()

A．7，11，18 B．6，12，18C．6，13，17 D．7，14，21

解析：选D由题意，该单位老年人、中年人、青年人的人数比为1∶2∶3.由分层抽样的特点知，老年人应抽取的人数为eq\f(1,6)×42＝7，中年人应抽取的人数为eq\f(2,6)×42＝14，青年人应抽取的人数为eq\f(3,6)×42＝21，故选D.

3．为了落实“回天支配”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采纳分层抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是________．

解析：这次抽样调查抽取的总人数是eq\f(100,\f(700,840＋700＋560))＝300.

答案：300

分层抽样的概念

[例1](链接教科书第213页例2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()

A．从10名同学中抽取3人参与座谈会

B．红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本

C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

[解析]A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简洁随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层抽样；B中总体所含个