23 映射的概念(解析).pdf

2.3映射的概念

【课标要求】

1．了解映射的概念，掌握映射的三要素．

2．会判断给出的两集合，能否构成映射．

【核心扫描】

1．映射与函数的关系．(重点)

2．映射概念的理解．(难点)

【自学导引】

一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对

应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的，记作f：A→B.

想一想：1.在映射f：A→B中，B中的每个元素，在集合A中是否都有元素与它对应？

提示：B中不是每个元素在集合A中都有元素和它对应，即使有元素和它对应，元素也不一定是唯一的．

2．在映射f：A→B中，若集合A中元素与B中元素的对应是一对一的，这时集合A与集合B元素个数有什么关

系？

提示：相等

【名师点睛】

1．映射包括集合A，B以及从A到B的对应法则f，三者缺一不可．

2．对于映射f：A→B来说，应满足：

①集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应．

②集合A中的不同元素，在集合B中对应的元素可以是同一个．

③不要求B中的每一个元素在集合A中都有元素与之对应．

3．映射是一种特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序．从

A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的，也就是说对应法则f具有方向性.

题型一：映射概念的应用

【例1】设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)，x，y∈R}，f：(x，y)→(x＋y，xy)．

(1)求A中元素(1，－2)在f的作用下，对应B中的元素；

(2)若A中的某个元素在f的作用下，在B中与之对应的元素为(1，－2)，求A中的这个元素．

思路探索：本题是映射概念的应用，关键是紧扣定义，充分利用对应法则f：(x，y)→(x＋y，xy)．

解：(1)由x＝1，y＝－2，得x＋y＝－1，xy＝－2，∴所求B中的元素为(－1，－2)．

x＋y＝1，x＝2，x＝－1，

(2)由得或∴所求A中的元素为(2，－1)或(－1,2)．

xy＝－2，y＝－1，y＝2，

规律方法：由于映射f：A→B是单值对应，所以由A中元素求B中元素时，结果是唯一的，但由B中元素来求A

中元素时，结果可能有多个．

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【训练1】已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a，a＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中

元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a和k的值．

解：根据f：x→y＝3x＋1可知1,2,3，k的对应元素分别为4,7,10,3k＋1，那么根据B可知10∈B，

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故a＝10或a＋3a＝10，∵a∈N，∴a＋3a＝10，∴a＝2.此时B＝{4,7,10,16}，又3k＋1∈B，

∴3k＋1＝4或3k＋1＝7或3k＋1＝10或3k＋1＝16，得k＝1,2,3,5，注意到集合A中元素的互异性，经检验k＝5，

∴a＝2，k＝5.

题型二：求映射的个数

【例2】已知A＝{a，b，c}，B＝{d，e}．问：A到B能构成多少个映射？

思路探索：给定两个集合，或构成映射的某些条件，要确定映射的个数，如果集合元素比较少时，可以直接列举出

所有符合题意的映射．

解：根据映射的概念，可以分为“三对一”和“三对二”两种．

“三对一”型，有两个映射，即f(x)＝d(x＝a，b，c)和g(x)＝e(x＝a，b，c)．

“三对二”型，有如图所示的几种情况：

共有2＋6＝8(个)映射．

规律方法：

(1)要特别注意的是：所谓A到B的一个映射是指通过对应法则使A中所有元素找到象，不要理解成一个元素对应

一个映射．

(2)一般地，在没有任意限制的条件下，要将一个n元集合映射到一个m元素集合共有mn个映射．

【训练2】已知集合A＝{1,2}，B＝{a，b}，建立从集合A到集合B的映射，并画图表示．

解：可建立4个映射，它们是：

题型三：映射与函数的关系

【例3】判断下列对应是不是A到B的映射，是不是A到B的函数？

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