2024_2025学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式1.2基本不等式练习含解析湘教版必修第一册.docxVIP

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基本不等式

课后篇巩固提升

必备学问基础练

1.已知0x1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()

A. B. C. D.

答案B

解析∵0x1,∴1-x0.∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时等号成立.

2.(多选题)下列不等式肯定成立的是()

A.x2+x(x0)

B.x+≥2(x0)

C.x2+18≥2|x|(x∈R)

D.1(x∈R)

答案BC

解析A中,当x=时,x2+=x,所以A不肯定成立;

B中,当x0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以B肯定成立;

C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C肯定成立;

D中,因为x2+1≥1,所以0≤1,所以D不成立.

3.已知t0,则的最小值为.?

答案-1

解析=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时等号成立.

4.设a0,b0,且不等式≥0恒成立,求实数k的最小值.

解因为a0,b0,所以原不等式可化为k≥-(a+b),所以k≥--2.因为≥2,当且仅当a=b=1时等号成立.所以--2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.

5.已知a,b,c为正数,求证:≥3.

证明左边=-1+-1+-1

=-3.

∵a,b,c为正数,

∴≥2(当且仅当a=b时等号成立);

≥2(当且仅当a=c时等号成立);

≥2(当且仅当b=c时等号成立).

从而≥6(当且仅当a=b=c时等号成立).

∴-3≥3,

即≥3.

关键实力提升练

6.(2024安徽宣城高一期末)已知a0,b0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为()

A.10 B.9 C.8 D.7

答案C

解析因为a0,b0,则m≤(2a+b),

所以(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即b=2a时等号成立,要使不等式恒成立,则m≤8.即实数m的最大值为8.故选C.

7.(多选题)对于a0,b0,下列不等式正确的是()

A. B.ab≤

C.ab≤ D.

答案BCD

解析当a=20,b=20时,=1,=1,,故A不正确;明显B,C,D均正确.

8.已知abc,则的大小关系是.?

答案

解析∵abc,∴a-b0,b-c0,

∴.

当且仅当b=时等号成立.

9.已知不等式(x+y)≥9对随意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.

解∵(x+y)=1+a+,

又x0,y0,a0,

∴≥2=2,

∴1+a+≥1+a+2,

当且仅当y=x时等号成立.∴要使(x+y)≥9对随意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成马上可.

∴(+1)2≥9,即+1≥3,

∴a≥4,故a的最小值为4.

学科素养创新练

10.若a0,b0,且(a+b)=1.

(1)求ab的最大值;

(2)是否存在a,b,使得的值为?并说明理由.

解(1)∵(a+b)=1,∴a+b=.

∵a0,b0,∴a+b≥2,当且仅当a=b=时等号成立,∴≥2,∴ab≤,当且仅当a=b=时等号成立,

∴ab的最大值为.

(2)不存在.理由如下,

∵a0,b0,∴≥2,当且仅当a=b=时等号成立.

∵,∴不存在a,b使得的值为.