2025年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)大题02数列及求和(5大题型+高分必刷)(学生版+解析).docxVIP

大题02数列及数列求和

根据近几年的高考情况，数列是高考数学中必考题目，高频考点，解答题小题都会涉及。一般考查内容之是等差等比数列性质的简单应用。求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及子自主学习能力问题。

题型一：数列通项公式及裂项求和

1（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数）

(1)求a的值；

(2)求的通项公式；

(3)若，求数列的前n项和

2（24-25高三下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，.

(1)求，的通项公式

(2)设，数列的前n项和为，求并证明.

一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有：

形如

当，时，易知

形如

当，时，易知

形如

当，时，易知

形如

当，时，易知

1（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．

2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和

3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

题型二：数列通项及错位相减求和??

（贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题）已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记数列的前项和为，求证：.

设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了.

1（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的前项和．

2．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）等比数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

题型三：数列通项及奇偶项讨论问题?

1（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，

(1)证明是等差数列；

(2)求；

(3)求证：

1（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的前项和.

2．（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.

(1)求，的通项公式；

(2)求数列的前n项和；

(3)若，求数列的前2n项和.

3．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且.

(1)计算，；

(2)求通项公式；

(3)设为数列的前n项和，求；

题型四：数列证明类问题

1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：；

(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．

1（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的最大值；

2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：当时，．

题型五：数列型定义问题

1（2025·江苏苏州·模拟预测）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列.

(1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列；

(2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值；

(3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围.

2（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.

(1)若数列为“-数列”，写出所有可能的；

(2)若“-数列”中，，求的最大值.

新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：

第一步：提取信息??—??对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，

第二步：加工信息??—??细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点

第三步：迁移转化??—??如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）

第四步：计算，得结论??—??结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论

1（24-25高三·云南