2025年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)培优专题02数列(8大题型)(学生版+解析).docxVIP

培优专题02数列

题型1裂项相消复杂型

①等差型

（1）

（2）

（3）

②根式型

（1）

（2）

（3）

③指数型

（1）

（2）

（3）

④等差裂和型

形如型，如果，则可以分子裂差：

一、解答题

1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.

(1)写出等差数列的通项公式和求和公式.

(2)求；

(3)若，记数列前项和为

2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，点在曲线上，且．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设，记，求．

3．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求证：．

4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和

5．（24-25高三上·河北·期末）数列满足：，.

(1)求数列通项；

(2)恒成立，求m最小值.

6．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.

(1)求；

(2)设求数列的前项和．

题型2错位相减法

一、错位相减法求数列的前n项和

（1）适用条件

若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．

（2）基本步骤

（3）注意事项

①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；

一、解答题

1．（2025·新疆·二模）已知数列的前项和为，且是等差数列，，．

(1)求的通项公式；

(2)记，求．

2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且.

(1)求的通项公式；

(2)若求数列的前项和．

3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设数列的前项和满足：．

(1)求数列的通项；

(2)设数列的前项和为，若，求实数的取值范围．

4．（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的前项和．

5．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中.

(1)若，，求；

(2)若，，求数列的前n项和；

(3)若，证明：.

题型3并项求和法

并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

一、解答题

1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）记为数列的前项和，已知.

(1)求，并证明是等差数列；

(2)求.

2．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列前项的和.

3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

4．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列，其前n项和为，满足.

(1)求数列的通项公式以及；

(2)若，求

题型4倒序相加法

将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．

一、解答题

1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求的值；

(3)求的值.

2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，令，求数列的前2024项和.

3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．

(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)求和：．

题型5奇偶数列问题

1、常见类型

①，求的值；则

②，求的值

（1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则

（2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则

2、其他类型

①数列中连续两项和或积的问题：或

②含有类型

一、解答题

1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

2．（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的最大值；

3．（2024·广东韶关·二模）已知数列的前n项和为，，，．

(1)证明：；

(2)设，求数列的前2n项和．

4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差且恰为等比数列的前三项．

(1)求数列与的通项公式：

(2)若数列满足：求数列??前n项和;

(3)求的前n项和

5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：当时，．

题型6插入数或项构成新数列问题

1、