2024_2025高中数学第二章圆锥曲线与方程2椭圆1椭圆及其标准方程3教案新人教A版选修2_1.docVIP

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椭圆及其标准方程

学问与技能目标

理解椭圆的概念，驾驭椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

过程与方法目标

（1）预习与引入过程

当改变的平面与圆锥轴所成的角在改变时，视察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样改变的？特殊是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再视察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；其次、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清晰后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学打算无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），老师打算无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满意的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程简单得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．

（ii）椭圆标准方程的推导过程

提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；其次、留意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，留意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；其次、的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．

（iii）例题讲解与引申

例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，简单求出．引导学生用其他方法来解．

另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，

则．

例2如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？

分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．

引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．

例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．

分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．

解法剖析：设点，则，；

代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．

引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．

引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在改变时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

情感、看法与价值观目标

通过作图展示与操作，必需让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必需让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必需让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培育学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1运用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培育学生从定义的角度思索问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培育学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培育学生的对问题引申、分段探讨的思维品质．

◆实力目标

想象与归纳实力：能依据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来依据图形能用数学术语和数学符号表示．

思维实力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思索，培育学生的数形结合的思想方法；培育学生的会从特殊性问题引申到一般性来探讨，培育学生的辩证思维实力．

实践实力：培育学生实际动手实力，综合利用已有的学问实力．

数学活动实力：培育学生视察、试验、探究、验证与沟通等数学活动实力．

创新意识实力：培育学生思索问题、并能探究发觉一些问题的实力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第45页1、2、3、4、

作业：第53页2、3、

强调定义，强调焦点弦，并利用数形结合的思想解决问题