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转载差分方程建模

原文地址：差分方程建模作者：HEY如差分方程的基本知识

一、基本概念

1、差分算子

设数列，定义差分算子为在处的向前差分。

而为在处的向后差分。

以后我们都是指向前差分。

可见是的函数。从而可以进一步定义的差分：

称之为在处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。

类似可定义在处的阶差分为：

2、差分算子、不变算子、平移算子

记，称为平移算子，为不变算子。

则有：

由上述关系可得：

(1)

这表明在处的阶差分由在，处的取值所线性决定。

反之，

由得：

，得：,

这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表

现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内

的k+1项增量的增量的增量….第k层增量所构成。

….

得：

(2)

可以看出：

可以由的线性组合表示出来

3、差分方程

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由以及它的差分所构成的方程

(3)

称之为k阶差分方程。

由(1)式可知(3)式可化为

(4)

故(4)也称为k阶差分方程(反映的是未知数列任意一项与其前，前面

k项之间的关系)。

由(1)和(2)可知，(3)和(4)是等价的。

我们经常用的差分方程的形式是(4)式。

4、差分方程的解与有关概念

(1)如果使阶差分方程(4)对所有的成立，则称为方程(4)的解。

(2)如果(为常数)是(4)的解，即

则称为(4)的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基

本意义是：设是(4)的解，考虑的变化性态，其中之一是极限状况，如果，

则方程(4)两边取极限(就存在在这里面)，应当有

(3)如果(4)的解使得既不是最终正的，也不是最终负的，则称为关于

平衡点是振动解。

(4)如果令：，则方程(4)会变成

(5)

则成为(5)的平衡点。

(5)如果(5)的所有解是关于振动的，则称阶差分方程(5)是振动方

程。如果(5)的所有解是关于非振动的，则称阶差分方程(5)是非振动方

程。

(6)如果(5)有解，使得对任意大的有

则称为正则解。(即不会从某项后全为零)

(7)如果方程(4)的解使得，则称为稳定解。

5、差分算子的若干性质

(1)

(2)

(3)

(4)

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(5)

6、Z变换

定义：对于数列，定义复数级数

(6)

这是关于洛朗级数。它的收敛域是：，其中可以为，可以为0。称为

的-变换。

由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：变换是一一对应的，从而

有逆变换，记为：

(7)

变换是研究数列的有效工具。

变换的若干重要性质：

(1)线性性

(2)平移性质

变换举例：

(1),则

(2)，则

(3)设则

(4)设则

差分方程常用解法与性质分析

1、常系数线性差分方程的解

方程(8)

其中为常数，称方程(8)为常系数线性方程。

又称方程(9)

为方程(8)对应的齐次方程。

如果(9)有形如的解，带入方程中可得：

(1