2024_2025学年新教材高考数学第一章空间向量与立体几何2空间向量的基本定理精讲含解析新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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空间向量的基本定理

考点一基底的推断

【例1】（2024·全国高二课时练习）在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】:共面，解除A共面，解除B共面，解除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C

【一隅三反】

1．（2024·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底中基向量与基底基向量对应相等

【答案】C

【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以错.

项，空间基底有多数个,所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.

2．（2024·全国高二课时练习）设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】选项A,B中的三个向量都是共面对量，所以不能作为空间的一个基底.

选项D中，，依据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.

3．（2024·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若a,

A．b+c

C．b+c

【答案】A

【解析】∵2b=b

∵a+b+

∵a+c=a

考点二基底的运用

【例2】（2024·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】为的中点，

．

故选：．

【一隅三反】

1．（2024·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】连接

分别为中点

故选：

2．（2024·中心民族高校附属中学高二月考）在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为，故选B

3．（2024·江西吉安。高二期末（理））在四面体中，空间的一点满意，若共面，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由共面知，故选：

考点三基本定理的运用

【例3】2024·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，

（1）用表示；

（2）求对角线的长；

（3）求

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）连接,，，如图：

，，

在，依据向量减法法则可得：

底面是平行四边形

且

又为线段中点

在中

（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是

由（1）可知

平行四边形中

故：

故：对角线的长为：.

（3），

又

【一隅三反】

1．（2024·济南市历城其次中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，

设．

（1）试用表示出向量；

（2）求的长．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）∵是PC的中点，

∴

（2）

.

2．（2017·陕西新城。西安中学高二期中（理））如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）

，同理可得，

．

（2）因为，

所以，

因为，

所以．

异面直线与所成角的余弦值为．

3．（2024·安徽宿州.高二期末（理））已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】设，，

由题可知：两两之间的夹角均为，且，

（1）由

所以即证.

（2）由，又

所以，

又

则

又异面直线夹角范围为

所以异面直线夹角的余弦值为.