浙江省宁波市九校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题.docx

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浙江省宁波市九校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足，则（???）

A．2 B． C． D．

2．已知全集，集合，则（???）

A． B． C． D．

3．已知向量，，则是的（???）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．展开式中的系数为（????）

A． B．5 C．15 D．35

5．圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（???）

A． B． C． D．

6．下列不等式正确的为（???）

A． B．

C． D．

7．如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（???）

A． B． C． D．1

8．在平面直角坐标系中，若点到直线的距离不小于2，则的取值范围为（???）

A． B．

C．或 D．或

二、多选题

9．从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（???）

A． B． C． D．

10．如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（???）

A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30°

B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60°

C．直线SD与AB所成角的最小值为45°

D．直线SD与AB所成角的最大值为60°

11．已知函数，数列满足，前项和为．则（???）

A．函数的对称中心为

B．函数为奇函数

C．不等式的解集为

D．若，，则的最小值为

三、填空题

12．已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为．

13．过点的直线与抛物线交于两点，且，，则．

14．已知函数有两个极值点，，当时，的取值范围是．

四、解答题

15．甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．

(1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；

(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．

16．已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设，求数列的前项和．

17．如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点．

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角的正弦值为，求．

18．如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M．

（注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）

??

(1)求双曲线的方程；

(2)证明：直线AB与切于点M，且；

(3)当点在第三象限，且时，求的值．

19．（1）证明：；

（2）当时，利用所给图形证明（1）中等式；

（3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：．

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《浙江省宁波市九校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

B

A

D

C

A

B

ABC

BC

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】根据复数的除法运算求解即可.

【详解】，

故选：C

2．D

【分析】解不等式后，根据补集运算求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：D

3．B

【分析】根据向量平行的充要条件求出即可得解.

【详解】因为向量，，

所以，即，

解得或，

所以是的充分不必要条件，

故选：B

4．A

【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解.

【详解】若要产生这一项，则

当在中取1时，再在中取2个、取4个1，

当在中取时，再在中取3个、取3个1，

所以展开式中的系数为.

故选：A.

5．D

【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可.

【详解】由题意该圆台的轴截面如图所示，

设上下底面半径分别为，圆台的高