云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题.docx

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云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等比数列满足，则q＝（????）

A．1 B．－1 C．3 D．－3

2．记为等差数列的前项和，已知，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（）

A． B． C． D．

4．正方体中，点是侧面的中心，若，则（????）．

A．

B．

C．

D．

5．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（????）

A．1 B．2 C．4 D．8

6．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（???）．

A．3 B．2 C．1 D．0

7．已知函数在处有极小值，则c的值为（）

A．2 B．4 C．6 D．2或6

8．已知，分别是双曲线的左?右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）

??

A．当时，取得极小值

B．在上单调递增

C．当时，取得极大值

D．在上不具备单调性

10．（多选）已知抛物线（）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D．若，则以下结论正确的是（???）

A． B． C． D．

11．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（????）

A．存在唯一点，使得

B．存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值

C．若，则三棱锥外接球的表面积为

D．若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分

三、填空题

12．设直线，的方向向量分别为，，若，则.

13．圆心在直线上，且过点，的圆的一般方程为．

14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．

四、解答题

15．已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

16．在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）．

(1)证明：平面；

(2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．

17．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)求在上的最大值．

18．设椭圆的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.

(1)求椭圆的方程；

(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.

19．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.

(1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；

(2)若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；

(3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围.

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《云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

C

B

C

B

A

A

AC

ABC

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.

【详解】因为，故可得；

解得.

故选：C.

2．B

【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.

【详解】由，则，

则等差数列的公差，故.

故选：B.

3．C

【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.

【详解】如图所示：，，

由椭圆定义得.①

在中，.②

由①②得，则，

所以椭圆C的方程为.

故选：C.

??

【点睛】本题考查椭圆方程的求解.

4．B

【分析】利用空间向量的线性运算直接计算即可.