江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题.docx

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江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知向量，满足，，则与的夹角为（???）

A． B． C． D．

3．某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为，则该正四棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

4．已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．9

5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍，经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（????）

（参考数据：）

A．6 B．12 C．16 D．20

6．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增.设，则（????）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（????）

A．2 B． C．3 D．

8．设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知是复数，则下列说法正确的是（????）

A．若为实数，则是实数 B．若为虚数，则是虚数

C．若，则是实数 D．若，则

10．口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（????）

A． B．

C．与为互斥事件 D．与相互独立

11．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（????）

A．平面

B．向量不共面

C．平面与平面的夹角的正切值为

D．平面截该正方体所得的截面面积为

三、填空题

12．已知二项式，则．

13．已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为.

14．将随机排成一行，前3个数字构成三位数，后三个数字构成三位数.记，则的最小值为.小于100的概率为.

四、解答题

15．某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：

女

男

未参加跳绳比赛

参加跳绳比赛

(1)能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关

(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．

附：其中．

16．在中，已知.

(1)求；

(2)若为的平分线，面积为14，求.

17．如图，在直三棱柱中，.

(1)证明：三棱柱是正三棱柱；

(2)证明：；

(3)设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.

18．已知函数的图象与轴的三个交点为（为坐标原点）.

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有三个零点，求的取值范围；

(3)若，点在的图象上，且异于，点满足，，求的最小值.

19．已知椭圆的离心率为，且经过点.定义第次操作为：经过上点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.

(1)求的方程；

(2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值；

(3)若是在第一象限与不重合的一点，证明：的面积为定值.

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《江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

A

C

B

D

C

D

BC

AB

题号

11

答案

AC

1．B

【分析】解对数不等式求集合，再由集合的交运算求集合.

【详解】集合，又，

所以.

故选：B

2．B

【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角.

【详解】设，，

因为，，

所以，解得，

所以，，，则，

因为，则．

故选：B

3．A

【分析】根据正四棱锥的结构特征求出棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求体积.

【详解】由题设，底面是边长为2的正方形，其对角线长为，又侧棱与底面的夹角为，

所以正四棱锥的高为，故正四棱锥的体积为.

故选：A

4．C

【分析】由题意得时，，由此即可得解.

【详解】已知等比数列的前项和为，且成等差数列，

所以，所以，

所以当时，，