2024_2025年高中数学第三章直线与方程3.4两条平行直线间的距离1教案新人教版必修2.docVIP

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两条平行直线间的距离

教学分析

点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是探讨直线与圆的位置关系的主要工具.

点到直线的距离公式的推导方法许多，可探究的题材特别丰富.除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探究并驾驭点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探究过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特别到一般地探讨数学问题，培育学生的发散思维.依据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发觉学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在老师引导之下的探究；老师也要供应必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在老师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探究、发觉和创建的乐趣.

三维目标

1.让学生驾驭点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.

2.引导学生构思距离公式的推导方案，培育学生视察、分析、转化、探究问题的实力，激励创新.培育学生勇于探究、擅长探讨的精神，学会合作.

重点难点

教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.

教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,假如已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程干脆求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来特地探讨这个问题.

思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来探讨点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).

图1

推动新课

新知探究

提出问题

①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最简洁想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?

②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍旧成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发觉吗？(如何求两条平行线间的距离)

活动：

①请学生视察上面三种特别情形中的结论:

(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=；

(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=.

视察、类比上面三个公式，能否猜想：对随意的点P(x0,y0)，d=?

学生应能得到猜想：d=.

启发诱导：当点P不在特别位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特别位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离到处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特别情形来处理)

证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).

∴P′N=.(*)

∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,

∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.

代入(*)得|P′N|=

即d=,.

②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.

③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.

证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.

又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.

探讨结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.

②当A=0或B=0时，上述公式也成立.

③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.

应用示例

思路1

例1求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.

解:(1)依据点到直线的距离公式得d=.

(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=.

点评：例1(1)干脆应用了点到直线的距离公式，要求学生娴熟驾驭；(2)体现了求点到直线距离的敏捷性，并没有局限于公式.

变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.

解:=4|3a-6|=20a=20或a=.

例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.

解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.

|AB|=，

AB边上的高h就是点C到AB的距离.

AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.

点C到x+y-4=0的距离为h=，

因