2024_2025学年新教材高考数学第一章空间向量与立体几何2空间向量基本定理基础过关含解析新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

PAGE

PAGE14

空间向量基本定理

基础过关练

题组一空间向量基本定理及相关概念的理解

1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有(深度解析)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.若p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,且d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为.?

题组二用空间的基底表示空间向量

4.在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1

A.12a+12b+12c B.12a-

C.12a+12b-12c D.-12a+

5.(2024广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若AE=AA1+xAB+y

A.1,1 B.1,12 C.12,12

6.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,AB=i,AD=j,AP=k,试用基底{i,j,k}表示PG,BG,AG.

题组三利用空间向量基本定理解决几何问题

7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论:

①A1M∥D1P;

②A1M∥B1Q;

③A1M∥平面DCC1D1;

④A1M∥平面D1PQB1.

其中正确结论的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

8.(2024黑龙江省试验中学高二上期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱垂直于底面,AB=4,AA1=6.若E是棱BB1的中点,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()

A.1313 B.21313 C.

9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.

10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.

实力提升练

题组一利用基底表示空间向量

1.(2024安徽淮北一中高二上期中,)已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP=()

A.16a+16b+16c B.13a+

C.16a+13b+13c D.13a+

2.(2024北京第八十中学高二下月考,)已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m,n共线,则x=,y=.?

3.(2024广东深圳试验学校高二上期中,)如图,在三棱锥O-ABC中,G是△ABC的重心(三条中线的交点),P是空间随意一点.

(1)用向量OA,OB,OC表示向量OG,并证明你的结论;

(2)设OP=xOA+yOB+zOC,x,y,z∈R,请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).

题组二证明平行和垂直

4.(多选)()在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是(深度解析)

A.EG⊥PG B.EG⊥BC

C.FG∥BC D.FG⊥EF

5.(2024海南五指山农垦试验中学高二上期中,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,若E、F分别为PC、BD的中点.求证:

(1)EF∥平面PAD;

(2)EF⊥平面PDC.(用向量方法证明)深度解析

6.(2024陕西西北高校附属中学高二上期中,)如图所示,已知四面体ABCD的棱长为1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,设AB=a,AC=b,AD=c,{a,b,c}为空间向量的一个基底,计算:

(1)EF·BA;(2)|EG|.

7.(2024浙江余姚中学高二上期中,)在全部棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1BC=60°,求证:

(1)AB1⊥BC;

(2)A1C⊥平面AB1C1.

题组三求线段长度和两条异面直线所成