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反比例函数培优教程

（一）反比例函数的概念

反比例函数的定义：如果两个变量或的形式，其中的形式，那么称的反比例函数。在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件。

反比例函数自变量定义域是不等于零的一切实数，故函数图像与轴、轴无交点．。

反比例函数也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的，从而得到反比例函数的解析式；

（二）反比例函数的图像

在用描点法画反比例函数的图像时，应注意自变量的取值不能为0，且应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图像的性质

1.函数解析式：，

2.自变量的取值范围：

3.图像

（1）图像的形状：双曲线

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大.

(2)图像的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线（图像的两个分支永远不会与轴、轴相交，知识无限靠近两坐标轴）．

当时，同号，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内随的增大而减小；

当时，异，号图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若在双曲线的一支上，则在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若在双曲线的一支上，则也在双曲线这支上而在双曲线的另一支上．

4.的几何意义.

设P为双曲线上任意一点，过点P作轴、轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=??

故，从而得以下结论：

结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值。

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：

结论2：在直角三角形ABO中，面积

结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|

结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

(2)直线与双曲线的关系：

当时，两图像没有交点.

当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（四）、典型例题：

知识点1.反比例函数的概念

1.下列函数中，是的反比例函数的是（）．

A.B.C.D.

2.函数的自变量的取值范围是.

3.已知函数,当时什么数时，分别是正比例函数和反比例函数？

4.已知与成反比例函数，且时，，则该函数表达式是（ ）

A． B． C． D．

5.设某矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和．那么当一定时，给出以下四个结论：

①是的正比例函数；②是的正比例函数．

③是的反比例函数；④是的反比例函数．

其中正确的为 （ ）

A．①，②． B．②，③． C．③，④． D．①，④．

6.已知：，与成正比例，与成反比例，并且时，；时，．求时，的值．

7.已知正比例函数图象与反比例函数的图象的一个交点坐标是(1，3)，则另一个交点的坐标是（）

A．(–1，–3)B．(–3，–1)C．(–1，–2)D．(–2，–3)

知识点2．反比例图象和性质

1.已知函数是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么=_________②若随的增大而减小，那么=___________．

2.若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是.

3.反比例函数的图象的两个分支关于对称.

4.某个反比例函数的图象如右图所示，根据图象提供的信息，求反比例函数的解析式．

5.反比例函数，的共同点是（）

A.图象位于同样的象限B.自变量取值范围是全体实数

C.图象关于直角坐标系的原点成中心对称.D.y随x的增大而增大

6.以下各图表示正比例函数与反比例函数的大致图象，其中正确的是（）

7.反比例函数经过（-3,2)，则图象在象限.

8.若反比例函数图象经过（-1,2)，试问点(4,-2)是否在这个函数的图象上？为什么？

9.下列反比例函数图象一定在一、三象限的是（）

A． B． C． D．

10.如果反比例函数的图象位于第二、第四象限内，正整数的值是

知识点3．函数的增减性

1.在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数

2.下列函数中，y随x的增大而减小的有（）

A.2个B.3个C.4个