2025北京东城高三一模数学（教师版）.docx

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2025北京东城高三一模

数学

2025.4

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则

（A） （B）

（C） （D）

（2）下列函数中，定义域为的是

（A） （B）

（C） （D）

（3）在的展开式中，的系数为，则的值为

（A） （B）

（C） （D）

（4）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯℃的热红茶置于℃的房间里，茶水的温度（单位：℃）与时间（单位：min）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

（5）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函

数值中一定大于零的是

（A） （B）

（C）（D）

（6）已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，，，则的公差可以为

（A） （B）

（C）（D）

（7）长度为的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为

（A） （B）

（C） （D）

（8）已知，，则“”是“”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（9）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地

面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈

有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；

中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个

月；外圈12根约为6米的檐柱，象征十二

个时辰.已知是由一根龙井柱和两根金

柱图2图1，形成的几何体（图2）

图2

图1

中，米，，则

平面与平面所成角的正切值约为

（A）（B）

（C）（D）

（10）已知集合，.如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为

（A）（B）

（C）（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）若复数满足，则.

（12）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正

方形的边长为，则_______；_______．

（13）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为_______．

（14）已知函数，若的最小正周期为，则；若存在，使得，则的最小值为．

（15）已知数列满足，且，给出下列四个结论：

①若，当时，；

②若，当时，；

③若，对任意正数，存在正整数，当时，；

④若，对任意负数，存在正整数，当时，．

其中正确结论的序号是_______．

解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在△ABC中，，，．

（Ⅰ）求的值及△ABC的面积；

（Ⅱ）求证：．

（17）（本小题14分）

如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，,，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题13分）

据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见表1.

水稻

小麦

播种面积（千公顷）

产量（万吨）

播种面积（千公顷）

产量（万吨）

华东地区

江苏省

2221.0

2003.2

2389.5

1373.5

浙江省

649.0

485.3

152.6

66.4

安徽省

2500.7

1609.8

2862.7

1740.7

福建省

601.1

394.6

0.1

0.0

江西省

3383.9

2070.7

11.3

3.5

山东省

101.0

86.1

4008.9

2673.8

东北地区

辽宁省

500.5

412.9

2.0

0.8

吉林省

828.8

682.1

5.0

1.7

黑龙江省

3268