2024_2025学年新教材高中数学第一章预备知识4.2一元二次不等式及其解法学案北师大版必修第一册.docVIP

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一元二次不等式及其解法

新课程标准解读

核心素养

1.会结合一元二次函数的图象，推断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数

数学抽象、直观想象、逻辑推理

2.经验从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集

数学抽象、数学运算

3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

直观想象、数学建模

城市人口的急剧增加使车辆日益增多，须要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过实力．城市环线和高速马路网的连结也必需通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标记．为了保证平安，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．

[问题]在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？

学问点一一元二次不等式的概念

1．定义：形如ax2＋bx＋c0，或ax2＋bx＋c0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．

2．解集：使一元二次不等式成立的全部未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．

eq\a\vs4\al()

一元二次不等式概念中的关键词

(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；

(2)二次，即未知数的最高次数必需为2，且其系数不能为0.

下面所给关于x的几个不等式：①3x＋40；②x2＋mx－10；③ax2＋4x－70；④x20.其中肯定为一元二次不等式的有________．(填序号)

答案：②④

学问点二一元二次不等式的求解方法

函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系：

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)

方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

方程ax2＋bx＋c＝0的实数根

x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(x1x2)

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

无实数根

函数y＝ax2＋bx＋c的图象

不等式ax2＋bx＋c0的解集

{x|xx1，或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

eq\a\vs4\al(R)

不等式ax2＋bx＋c0的解集

{x|x1xx2}

eq\a\vs4\al(?)

eq\a\vs4\al(?)

eq\a\vs4\al()

从两个角度看三个“二次”之间的内在联系

(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围；

(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．

当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a0)与ax2＋bx＋c≤0(a0)的解集分别是什么？

提示：R，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(b,2a))))).

1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()

A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞3，或x＜－\f(1,2)))))

B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))

C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥3，或x≤－\f(1,2)))))

D．R

答案：C

2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()

A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(1,3))))) B.eq\b\l