【2025.1期末】西城高二数学答案.docxVIP

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末高二数学参考答案第PAGE6页（共NUMPAGES6页）

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷

高二数学答案及评分参考

2025.1

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

（1）A

（2）C

（3）C

（4）A

（5）D

（6）D

（7）C

（8）A

（9）D

（10）D

二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）②③④

注：第14题第一空2分，第二空3分；第15题全部选对得5分，选对2个得4分，选对1个得3分，不选或错选得0分.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

（16）（本小题10分）

解：（Ⅰ）从5种不同的荤菜和4种不同的素菜中，选取1荤3素，不同的选择方法为

（种）. 4分

（Ⅱ）从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取2荤2素，不同的选择方法为

（种）.

由题意，得， 6分

所以. 8分

因为，

所以. 9分

所以的最小值为7. 10分

（17）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由，，可得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 2分

则，，，，

所以，，. 4分

设平面的法向量为，

所以即 6分

令，则，，于是， 8分

设直线与平面所成角为，

则， 9分

所以直线与平面所成角的正弦值为. 10分

（Ⅱ）因为， 12分

所以点到平面的距离为. 15分

（18）（本小题15分）

解：（Ⅰ）根据圆心在直线上，设圆心. 1分

因为圆经过，

所以， 2分

所以. 3分

解得. 4分

所以圆心，

所以圆的方程为. 5分

（Ⅱ）（ⅰ）由题意，， 8分

所以，

即，

所以的取值范围是. 10分

（ⅱ）因为四边形为平行四边形，又因为，

所以为菱形. 11分

因为，

所以点到直线的距离， 14分

所以，符合题意. 15分

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为.

由题意，得 3分

所以椭圆的短轴长， 4分

离心率. 6分

（Ⅱ）直线的方程为， 7分

令，得，

所以. 8分

直线的方程为， 9分

令，得，

所以. 10分

因为的中点为，

所以. 12分

若，则，与重合，舍去.

若，则，解得. 13分

将代入，得. 14分

所以或. 15分

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）因为平面，

所以， 1分

又因为，，

所以， 3分

所以. 4分

（Ⅱ）（ⅰ）取的中点，连接，

因为，，，，

所以四边形为矩形，

所以.

又因为平面，

可得两两垂直，所以以为原点，

所在直线分别为轴，轴，轴，

如图建立空间直角坐标系. 5分

则，，，

，.

因为分别为中点，

所以，，

所以，，，

是平面的一个法向量. 6分

设平面的法向量为，

即 7分

令，则，，于是， 8分

所以， 9分

因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为. 10分

（ⅱ）设平面平面，

因为平面与平面的交线为，平面，

所以交线即为直线.

设，则.

因为，

所以，

所以.①

因为在直线上，

所以. ②

由①②解得，

所以， 11分

所以.