（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）（原卷版）.docxVIP

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专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.离散型随机变量的均值

知识点2.离散型随机变量的方差

拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质

突破：均值与方差在决策中的应用

【方法二】实例探索法

题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望）

题型2.离散型随机变量均值的性质

题型3.离散型随机变量均值的应用

题型4离散型随机变量的方差

题型5.离散型随机变量方差的性质

题型6.离散型随机变量的方差的应用

【方法三】差异对比法

易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误

易错点2.错用公式致误

【方法四】成果评定法

【知识导图】

【倍速学习五种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.离散型随机变量的均值

一离散型随机变量的均值

1．离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．

2．离散型随机变量的均值的意义

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

3．离散型随机变量的均值的性质

若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为

Y

ax1＋b

ax2＋b

…

axi＋b

…

axn＋b

P

p1

p2

…

pi

…

pn

于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？

答案(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．

(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．

二、两点分布的均值

如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.

例1．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.3

0.4

0.1

0.1

则；.

知识点2.离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差、标准差

设离散型随机变量X的分布列如表所示．

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差(standarddeviation)，记为σ(X)．

二、离散型随机变量方差的性质

1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．

2．D(c)＝0(其中c为常数)．

例2.（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（????）

A． B． C． D．

拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质

3．（2024·全国·高三专题练习）已知X的分布列为

X

0

1

P

则下列结论正确的是（????）．

A． B． C． D．

突破：均值与方差在决策中的应用

4．（2021上·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；

(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择