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概率论期末考试试卷测试题及答案(一)

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设事件A、B互不相容，且P(A)=0.3，P(B)=0.2，则P(A∪B)=()

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.5

答案：D

详细解答：因为事件A、B互不相容，根据互不相容事件的概率加法公式：若事件A、B互斥，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。已知\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.2\)，所以\(P(A\cupB)=0.3+0.2=0.5\)。

2.设随机变量X服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(\lambda=()\)

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

详细解答：若随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，其概率分布为\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，即\(\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}\)。因为\(e^{\lambda}\neq0\)，两边同时约去\(e^{\lambda}\)，得到\(\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}\)，移项可得\(\lambda^{2}2\lambda=0\)，即\(\lambda(\lambda2)=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=2\)，由于\(\lambda0\)，所以\(\lambda=2\)。

3.设随机变量\(X\simN(0,1)\)，\(\varPhi(x)\)为其分布函数，则\(P(1X1)=()\)

A.\(2\varPhi(1)1\)

B.\(\varPhi(1)\varPhi(1)\)

C.\(2\varPhi(1)1\)

D.\(\varPhi(1)+\varPhi(1)\)

答案：A

详细解答：已知\(X\simN(0,1)\)，\(\varPhi(x)\)为其分布函数，则\(P(1X1)=\varPhi(1)\varPhi(1)\)。又因为正态分布的性质\(\varPhi(x)=1\varPhi(x)\)，所以\(\varPhi(1)=1\varPhi(1)\)，则\(P(1X1)=\varPhi(1)(1\varPhi(1))=2\varPhi(1)1\)。

4.设随机变量\(X\)和\(Y\)相互独立，且\(X\simB(10,0.3)\)，\(Y\simB(10,0.4)\)，则\(E(X+Y)=()\)

A.1

B.3

C.4

D.7

答案：D

详细解答：若随机变量\(X\simB(n,p)\)，则\(E(X)=np\)。已知\(X\simB(10,0.3)\)，所以\(E(X)=10\times0.3=3\)；\(Y\simB(10,0.4)\)，所以\(E(Y)=10\times0.4=4\)。因为\(X\)和\(Y\)相互独立，根据期望的性质\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)，则\(E(X+Y)=3+4=7\)。

5.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则\(\overline{X}\sim()\)

A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)

B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)

C.\(N(0,1)\)

D.\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)

答案：A

详细解答：若总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服从正态分布，且\(E(\overline{X})=\mu\)，\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)，所以\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)。

二、填空题（每题3分，共15分）

1.已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0