24届高三二轮复习函数与导函数专题3——函数与导函数（三）（教师版）.docx

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24届高三二轮复习函数与导函数专题3——函数与导函数（三）（教师版）

一、最值点极值点效应

1．（2017上·西藏拉萨·高三拉萨中学阶段练习）设函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）当时，，求实数的取值范围.

【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.

（II）.

【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.

试题解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

(2)f(x)=(1+x)（1-x）ex

当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当

综上，a的取值范围[1，+∞）

点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)当时，若对任意的恒成立，求的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解；

（2）首先求出函数的导函数，令，求出，再分、、、四种情况讨论，结合函数的单调性即可判断.

【详解】（1）当时，，则，

当时，令解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减；

当时，，所以在上单调递减，

当时，令，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，所以，

令，则，

当时，，与对任意的，恒成立矛盾，不合题意；

当时，，即在上单调递增，

又因为，，

故存在使得，故当时，此时，

所以在上单调递减，所以，不合题意；

当时，，即在上单调递增，

又因为，

故当时，，此时，所以在上单调递减，

当时，，此时，所以在上单调递增，

所以，满足题意；

当时，，即在上单调递增，

又因为，，

故存在使得，故当时，，此时，

所以在上单调递增，所以，不合题意；

综上可得.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

3．（2023下·山东·高三校联考开学考试）已知，函数．

(1)若和的最小值相等，求的值；

(2)若方程恰有一个实根，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用导数求出，的最小值，令其相等，可得答案；

（2）方程恰有一个实根，相当于恰有一个零点.利用导数及零点存在性定理，分三种情况下，

的零点情况即可.

【详解】（1）因，则.

.

则在上单调递减，在上单调递增，

故.

因，则.

.

则在上单调递减，在上单调递增，

故.

令

.则若和的最小值相等，.

（2）由，可得，

即，令，.

则方程恰有一个实根，相当于恰有一个零点.

则.

或（舍去）.

令，则.

得在上单调递减，在上单调递增.

则.

令，则，

得在上单调递减，又，则当时，，

时，.

则当时，，

，此时无零点，不合题意；

当时，，

此时有唯一零点1，则满足条件；

当时，，

，又，.

则，

得，.

又令，，

得在上单调递增，又，.则.

.令.

则，令，.

得在上单调递增，则，

得在上单调递增，则.

又，则.则.

得，.则当时，有2个零点，不合题意.

综上，方程恰有一个实根时，.

【点睛】关键点点睛：本题涉及利用导数求最值及用导数及零点存在性定理研究函数的零点，难度较大.

（1）适当的变形后，可将多余的a消去，后可解出相关方程；

（2）零点问题，常涉及单调性与