2024春九年级数学下册第二十八章样本与总体28.2用样本估计总体教案新版华东师大版.docVIP

Page4

用样本估计总体

三维目标

1理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，对样本数据中提取基本的数字作合理的说明

2会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

问题提出

1.对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？

频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图

2.美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场竞赛中的得分状况如下：

甲运动员得分：12，15，20，25，31，30，36，36，37，39，44，49.

乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，39.

假如要求我们依据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行探讨，用样本的数字特征估计总体的数字特征.

学问探究（一）：众数、中位数和平均数

思索1：以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数？

思索2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？

思索3：中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？

思索4：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？

0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.

思索5：平均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？

0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.

思索6：将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数.由此估计总体的平均数是什么？

0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均数是2.02.

思索7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能说明一下缘由吗？

频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.

注:在只有样本频率分布直方图的状况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.

思索8（1）一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些状况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？

如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；高校毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.

（2）样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？

平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在很多较大（或较小）的极端值.

（3）你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？

这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数简单计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.

平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.

当样本数据质量比较差时，运用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际状况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们须要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.

学问探究（二）：标准差

思索1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

甲、乙两人本次射击的平均成果分别为多少环？

思索2：甲、乙两人射击的平均成果相等，视察两人成果的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？

甲的成果比较分散，极差较大，乙的成果相对集中，比较稳定.

思索3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？

思索4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则标准差的计算公式是：

那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样